82288

Twierdzenie 4.12 (Lemat Fermata)

Niech funkcja f :< a.b >—» TZ osiąga w punkcie c € (a.b) ekstremum lokalne oraz istnieje pochodna f'(c). Wtedy f'(c) = 0.

Dowód:

Niech f(c) będzie maksimum lokalnym funkcji f. Wtedy istnieje taki przedział (e — 6, c + (5), 6 > 0, że dla każdego (c — 5, c -f 6), f(c) > /(x).

W punkcie c funkcja ma jx)chodną. więc

f'(c) = /i(c) = /i(c)

Dla x > c mamy    ^ 0 . Stąd lim    — f+(^c) < 0.

Analogicznie, dla x < c otrzymujemy pochodną lewostronną f'_(c) ^ 0.

To jest możliwe jedynie, gdy f'{c) = 0.

Dowód dla minimum lokalnego jest podobny.

Uwaga 4.8

Punkty w których zeruje się pierwsza jtochodna nazywamy punktami stacjonarnymi. Zbiór punktów w których funkcja może osiągać ekstrema składa się z punktów stacjonarnych i tych, te których pierwsza pochodna nie istnieje.

Twierdzenie 4.13 ( I warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale (a.b), ma pochodną w (a,xo)U (xo.6) i istnieje peumc otoczenie punktu x₀ , w którym f(x) <0 dla x < x₀ i f'(x) > 0 dla x > xq , to funkcja f osiąga w Xq minimum lokalne.

Jeżeli f{x) > 0 dla x < xo , a f'(x) < 0 dla x > xo , to funkcja f osiąga w xq maximum lokalne.

Dowód: wynika z Definicji ekstremum Ą.10 i Wniosku Ą.3.

Ekstrema właściwe są osiągane wtedy, gdy nierówności (3), (Ą) są ostre.

Przykład 4.24 Zbadać istnienie extremów lokalnych funkcji:

f(x) = |lnx|, 0(x) = e"^|x|

Twierdzenie 4.14 ( II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)

Jeżeli f € C²((a,6)), xq € (a.b) i J'(xq) = 0 oraz f"(xo) / 0. to funkcja f osiąga w punkcje Xq

•    minimum lokalne właściwe, gdy f"(xo) > 0,

•    maksimum lokalne właściwe, gdy f"(xo) < 0.

Dowód:

Niech fⁿ(x₀) > 0. Na mocy Tmerrlzenia3.8 o lokalnym zachowaniu znaku istnieje 6 > 0, takie, że dla x € (xo — 6, xo + <$) f"(x) > 0 .

Na mocy Twierdzenia Taylora Ą.9 dla n = 1, mamy

f(x) = f(x₀) +    - x₀) +    “ *o)²> gdzie c € (x₀ - <$,x₀ + <5).    (5)

Wykorzystując warunek f'(xo) = 0, otrzymujemy f(x) - f(xo) = A^(x-Xq)².

Z założenia f"(ć) > 0, więc f(x) — f(xo) > 0 dla x € (xo — S,xo + 6), x £ xo.

Oznacza to, że w punkcie xo funkcja f osiąga minimum lokalne właściwe.

Dowód dla maksimum jest analogiczny.

28