3360446513

18 Część I - Zadania

2. Liczby pierwsze

2.1.    Pojęcie liczby pierwszej. Liczbę naturalną p > 1 nazywamy pierwszą, jeśli ma ona dokładnie dwa dzielniki naturalne, mianowicie lip. Liczby, które nie są pierwszymi, ale są większe od 1, nazywamy złożonymi.

2.1.1.    Wypisz wszystkie liczby pierwsze p < 20 .

2.1.2.    Wskaż jakąkolwiek liczbę pierwszą większą od

(a) 26 , (b) 56 , (c) 100 .

2.1.3.    Uzasadnij, że reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 30 jest równa 1 lub pewnej liczbie pierwszej.

2.1.4.    Uzasadnij, że kwadrat dowolnej liczby pierwszej większej niż 3 daje przy dzieleniu przez 12 reszte 1.

2.1.5.    Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 2, liczby a_n = 2ⁿ + 1 oraz b_n = 2ⁿ — 1 nie mogą być jednocześnie liczbami pierwszymi.

2.1.6.    Uzasadnij, że liczby naturalnej postaci 6/c + 1 (k e N) nie można przedstawić w postaci różnicy dwóch liczb pierwszych.

2.1.7.    Pokaż, że jeżeli p jest liczbą pierwszą oraz 8p² + 1 jest liczbą pierwszą, to 8p² + 2p + 1 też jest liczbą pierwszą.

2.1.8.    Pokaż, że każda liczba naturalna większa od 1 ma przynajmniej jeden dzielnik pierwszy (tj. taki, który jest liczbą pierwszą).

2.2. Ile jest liczb pierwszych? Odpowiedź na pytanie o to, ile jest liczb pierwszych, zawiera następujące

Twierdzenie. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

W literaturze można znaleźć wiele dowodów tego twierdzenia. Niżej umieszczamy jeden z nich, mając nadzieje, że Czytelnik znajdzie co najmniej kilka innych. W dowodach tego twierdzenia często korzysta sie z faktu zawartego w zadaniu 2.1.8.