3784497996

6 Urszula Pastwa i Joachim Jelisiejew

Zadanie 5. Mamy 7 kulek białych i 5 kulek czarnych. W jednym ruchu dozwolone jest zabranie dowolnej (dodatniej) liczby kulek jednego koloru albo zabranie takiej samej (dodatniej) liczby kulek obu kolorów.

Rozwiązanie

Skoro w każdym ruchu kulek ubywa, to gra zakończy się.

Dla uproszczenia przez (x, y) oznaczamy pozycję, w której mamy x kulek białych i y kulek czarnych. Oczywiście po wykonaniu ruchu liczba białych czy czarnych kulek nie zwiększy się, więc powinniśmy przeanalizować, które pozycje są przegrywające, a które wygrywające, rozpoczynając od (0,0). Po-zycja (0,0) jest przegrywająca, więc pozycje (n,0), (0,n), (n,n) są wygrywające dla dowolnego n.

Rysunek 2

Dalej najprościej rozwiązać to zadanie metodą „graficzną”, patrz rysunek 2, na którym kolorowe tło mają pozycje wygrywające.

Z pozycji (1,2),(2,1) da się przejść tylko do wygrywających pozycji, więc (1,2) i (2,1) są przegrywające. Wobec tego każda z pozycji (n, 1), (n,2), (l,n), (2,n) jest wygrywająca dla każdego n>3 i wygrywające są też pozycje (n,n+l),(n+l,n) dian ^2. Stąd wynika, że (5,3), (3,5) są przegrywające (na rysunku 2 kropkami zaznaczono pozycje, do których można przejść z (3,5); wszystkie one są wygrywające). Ostatecznie (7,5), czyli pozycja startowa Bolka, jest wygrywająca. Zwycięskimi ruchami są przejścia do pozycji (3,5), (5,3) lub (7,4).

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 6.

Mamy 100 zapałek. W jednym ruchu można wziąć 1, 2 lub 3 zapałki.

Zadanie 7.

Mamy 100 zapałek. W jednym ruchu zabieramy 4, 5 lub 6 zapałek.