Strona
3

Rozwiązanie. W tym zadaniu mamy:    ¹

R(x,y,z) = -6z\

(1)    P(x, y, z) — 4x³, Q(x, y, r) = 4y\ Śtąd:

—— = i2v^J    = 12\>^J    ^ = — tą*³

dx    " ■ by ^J '    ^

(2)

• i Podstawiając (1) i (2) do wzoru (3.1), mamy:

(3)    / = t j 4.x³ dy dz + 4y³ rfz dx — 6z* dx dy = j J j (1 2*¹ -f 12_y^J —^: 24z³) r/.vdy dz.

¹ P    P

gdzie obszar przestrzenny V jest walcem określonym nierównościami:

\

V s

0^ z</j.

(4)    -

. 1

Wobec (4) mamy:

(5) J j((12jr^ł + \2y²—24z³) dxdydz = 12 $$ [JO^+y¹—2z²)dz]dxdy— = 12A t J (X¹ + y²) dxdy — 6h* \ \dxdy — \2h • 2n — a* — 6h*na² =

= 6na*h(a^r—h¹).

Wstawiając (5) do (3), mamy odpowiedź:

/= 6na²h(a²—/i²).

A 2

Zadanie 3.3. Posługując się wzorem Gaussa-Ostrogradskiego obliczyć całkę:

J = \ \x² dydz + y¹ dzdx + z¹ dx dy,

^s    i KaTw/

gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni stożka o równaniu:

z² = x²+y², ■    0 śzsh.    _v ,

Rozw iązanie. Z treści zadania wynika, że powierzchnia 5 nie jest powierzchnią zamkniętą. Aby można było stosować twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego, bierzemy pod uwagę powierzchnię _S₀ złożoną z danej powierzchni 5 i dodatkowej powierzchni kola:

0)

U¹ +y^J</i^ł

^{S> 3} \ z = h

zorientowanej do góry (patrz rys. 17.11). Do obszaru V ograniczonego powierzchnią:

(2)    S₀=S + S„    ,

gdzie S₀ zorieniovvana jest na zewnątrz obszaru V, oraz do funkcji:

(3)    P = x², Q = y¹, R = z-, stosujemy wzór (3.1). Mamy:

(4)    $ \ x² dydz + y^ł d:dx + :^: dxdy = $ H $ (2x + 2y + 2z)dx dv dz.

s *•    ^K

Obliczamy najpierw całkę potrójną występującą po prawej stronie (4). W tym celu wprowadzamy współrzędne walcowe:

(5)

x — r cos p, y = r sin p,

n * <v

10 < r ^ li ■ 0^p«r2n ' r < z < /i    od

Przy przekształceniu (5) obszarowi V odpowiada obszar określony nierównościami:

(6)

Wobec (5) i (6) oraz biorąc pod uwagę, że jakobian przekształcenia (5) jest równy r (por T. I, rozdz. 12.5, przykład 3) łatwo otrzymujemy, źc:

(7)    2 J $ $ (x -( y -r z) dx dy dz — 2 J { $ [ \(r cos p -f r sin p -j- z) r dz] t/p} dr =

V '    O 0 r .

,    . A ’«

= 2 ij | Jj |(r²//    r³) (cos p + sin p) +    --yj d_vj </r =

O *0

= 2rt.jj(W,²-,³)</r = 2n^    =

O

Z drugiej strony uwzględniając (2) całkę powierzchniową z wzoru (4) przedstawiamy w postaci sumy całek. Mamy więc:    _v

(8)    $ J jc² dy dz -f y² dz dx + z³ dx dy = ( $ .x² dy dz + y² dz dx + z² dx dy +

-r j J x² dydz -f y² dz dx -f ;² dxdy.

Zauważamy, że:

(\ .v² dy dz = j y¹ dz dx = 0,

y,    s,

gdyż powierzchnia Sj jest prostopadła do płaszczyzn Oyz i Ora^-. Wobec tego:

(\ x² dydz -f v³dzdx !- z² dx dy = ($ z²dxdy.

y    >,

Stosując do ostatniej całki twierdzenie (2.6) i uwzględniając przy tym (1), otrzymujemy:

(9)    (\ z² dx dy = $\ h² dxdy = rt/i\ s, ^

Wstawiając teraz (9) do (8), mamy:

(10)    \ ( x² dydz -|- y² dz dx -f z² d.x dy = (\ x² dydz -f y² dz dx -f ;² dx dy -f rdi*.

111