5125071411

20 2. Pieniądz

2.2.5. Roczna skala czasowa

Od tej chwili jako jednostkę czasu przyjmujemy rok kalendarzowy. Niech r - długość okresu mierzona w latach (np. miesiąc, kwartał, ...) r - stopa zwrotu jednookresowa (miesięczna, kwartalna, ...), a f = rr^-1 - stopa zwrotu w skali rocznej. Wówczas proces akumulacji opisujący procent prosty przyjmuje następującą postać

K(t) = K ■ (1 + t-) = K ■ (1 + tf).

Natomiast dla procentu złożonego mamy

K(t) = K ■ (1 + r)r =K-(l+rf)r.

Jeżeli długość okresu maleje do 0, to otrzymamy w granicy kapitalizację ciągłą z intensywnością równą r

lim K • (1 + tt)t = Ke^tr.

Stąd też nazwa kapitalizacja ciągła.

Uwaga 2.3. W matematyce aktuarialnej, dla podkreślenia, że stopa procentowa podana jest w skali rocznej, stosuje się symbol Oznacza on stopę procentową (dla procentu prostego) dla okresu ^ roku w skali rocznej. Jeśli r oznacza oprocentowanie okresowe, to

Na przykład w ćwiczeniu 2.8 mamy i= 0,08 i r = 0,02.

Uwaga 2.4. W dalszym ciągu będziemy oznaczać stopy zwrotu i stopy procentowe wymiennie literami r ii. Symbol r pochodzi od angielskiego ratę of return i chętnie jest używany w finansach, a i od interest ratę (lub ratę of interest) i używany jest przez aktuariuszy.

2.2.6. Nominalna i efektywna stopa procentowa

Jak już wspominaliśmy, aby móc porównywać różne procesy akumulacji, należy wybrać typ wzorcowy procesu. Wybór oprocentowania prostego prowadzi do stopy nominalnej, a oprocentowania złożonego do stopy efektywnej.

Niech K(t) będzie pewnym procesem akumulacji.

Stopa nominalna w okresie (t, t + h) (t czas w latach)

i_n = i_n(h,t)

to taka stopa procentowa, że

K(t + h) = K(t) ■ (1 + hi_n(h, t)),

czyli

K(t + h)- K(t) hK(t)