2100419929

Rozdział 2

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

_3_

x³'

7x⁵ — 4x⁴ + x³ — 9x² + 3x — 7 + — + -7:

Zadaniel. Obliczyć pochodną funkcji:

a) /(*)

b) f(x) = (x² + x + 3) sin x, ^    ^    3x² + 2x — 7

^C>/(x)=8xi_±3x ₊ l’

d)    /(x) = \/lnx,

e)    f(x) = tan² (3x + 1).

Rozwiązanie.

a)    Przedstawmy najpierw funkcję / w postaci:

f(x) = 7x^s - di⁴ + x³ - 9x² + 3x - 7 + 2x^_1 + 5x^-2 - 3x^-3. Wówczaf f(x) = 7 • 5x⁴ - 4 • 4x³ + 3x² - 9 • 2x + 3 • 1 - 7 • 0 + 2 • (-1) • x~² + 5 ■ i x“³ - 3 • (-3) • x-⁴ = 35x⁴ - 16x³ + 3x² - 18x + 3 - \    ^ + JL

X² X³    X⁴

b)    Stosujemy wzór na pochodną iloczynu:

f'(x) = (x²+x+3)'-sin:r+(x²+:r+3)-(sin x)' = (2x+l) sinx+(x²+x+3)

c)    Stosujemy wzór na pochodną ilorazu:

(3x² + 2x - 7)' • (8x² + 3x + 1) - (3x² + 2x - 7) • (8x² + 3x + ^f(X'~    (8x² + 3x+l)²

(6x + 2) • (8x² + 3x + 1) - (3x² + 2x - 7) • (16x + 3)    -7x² + 118x -

(8x² + 3x + l)²    ” (8x² + 3x + :

d)    Stosujemy wzór na pochodną funkcji złożonej:

f(x) = —1= ■ (ln x)' = —$= • i = -ł=.

2\/lnx    2\/lnx x 2x\/lnx

e)    Postępujemy analogicznie, jak w poprzednim przykładzie: f'(x) = 2 tan (3x + 1) • (tan (3x 4-1))' =

19