2104510616

Rozdział 4. Wyznaczniki

4.1. Definicja i istnienie.

Spójrzmy teraz na macierz n x n jak na układ n kolumn, czyli na element z M^m„(R) i    x • • • x M^mi(M) (n razy).

DEFINICJA 4.1. Odwzorowanie D: Mⁿn(M) —> K nazywamy wyznacznikiem, jeżeli posiada następujące wąsnoći:

(1)    własność wieloliniowości: D([ai,... , adi + (Jb,... , a_n]) =

=    aD([ai,...    ,a_n]) + (3D([ai,... ,6,... ,a_n])

dla i = l,... ,n,

(2)    własność antysymetrii:

D([ai,... , di,... , dj,... , On]) = —D([ai,... ,dj,... , di,... , a_n]) dla każdej pary i ^ j,

(3)    spełnia warunek unormowania:

D(I_n) = 1, gdzie

STWIERDZENIE 4.2. Jeżeli funkcja D jest wyznacznikiem, to

(1)    Jeżeli jedna z kolumn macierzy A jest zerowa, to D(A) = 0,

(2)    jeżeli dla pewnych i j di — dj, to D(A) = 0,

(3)    D([ai,... ,bi,... ,a_n]) = D(A), jeżeli bi = di + A^xai + • • • + A^l-1aj_i +

A^l+1Oj₊i H-----1-Aⁿa_n. Inaczej mówiąc: wyznacznik macierzy nie zmienia się,

jeżeli do kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych.

DOWÓD: Oczywiste (punkty (1) i (3) definicji).    ■

Uwaga! W dalszym ciągu będziemy, dla przejrzystości zapisu, używać symbolu dj (zamiast d^lj) dla oznaczenia elementu macierzowego.

TWIERDZENIE 4.3. Dla każdego n istnieje dokładnie jeden wyznacznik D: M"_n (M) —>

R.

DowÓd: Oznaczmy przez Bi kolumnę, w której na ż-tym miejscu jest jedynka, a poza tym są zera. Każda kolumna jest oczywiście kombinacją liniową kolumn ćj. Z wieloliniowości wyznacznika wynika, że jego obliczenie sprowadza się do obliczenia wyznacznika masierzy postaci

19