2212790350

Dla ułatwienia zakładamy, że P = C (wewnętrzna wartość obligacji jest równa jej cenie rynkowej). Niech 8 - stopa zwrotu związana z tą obligacją.

D(S) =

Z7=i tne-*

(22)

nazywamy czasem trwania obligacji (w j. ang. duration) lub średnim terminem wykupu. Możemy też zdefiniować czas trwania względem stopy procentowej «ytm:

(23)

W dalszym ciągu zakładać będziemy dla ułatwienia obliczeń, że kupony są wypłacane nie częściej niż co okres podstawowy, co np. daje

(24)

(25)

P(i) =    ,

3=1

a z rozwinięcia Taylora mamy

P(S)-P(So) P'(So)

P(.So)

Zauważmy, że

P'(<5o)

P(óo)

= --D(^o) ,

(26)

czyli

D(5) = -(]nP(6)) .

(27)

Jeśli czas trwania obligacji wyrazimy względem stopy «ytm, to zamiast (25) mamy

1

■ = -D(i₀) {i - i o) + C(i₀)(i - i o) ,    (28)

1 + *0

P(i)-P(h)

P(io)

gdzie

fi/- \    1 ^j=i ^3 (łj +    + *o)    1

° ^Z° ~~ 2 Ei=iq#(l + *o)-^    (1 H- 2₀)²

(29)

jest nazywane wypukłością obligacji. Czasami zamiast czasu trwania wprowadza się zmodyfikowany czas trwania obligacji

MD(*₀) = D{i₀)

(30)

Z (25) mamy

A P(S)

-D(5₀)AS

(31)

P(8o)

dla 8 dostatecznie bliskich <5o-

Wyrażając stopy procentowe poprzez stopę dochodu w terminie do wykupu, zamiast (31) mamy

^APW ~ MD(i₀)Ai    (32)

P(io)

4