007(1)

Ib) Dla x = a-]-l wartość funkcji jest równa

/(«+1) = )/(a+l)²-5(a+l)+4 - ] a²-3u 2) Dla x    funkcja <p(x) przybiera wartość

Uwzględniliśmy tu, że arcsin.r oraz arctg* są funkcjami jednoznacznymi, przyjmującymi wartości od —jt/2 óon/2^l\ Dla x > 0 funkcje te przybierają wartości z pierwszej, ćwiartki kola trygonometrycznego, a dla x <0 — z czwartej.

•3) Dla x = — 1 funkcja y przybiera wartość

y{~ 1) = (-l)²arc cos/——³(~l)arcctg(— 1) =»

2,9    35

12 ⁷¹

ponieważ arccos* i arcctg.v są funkcjami jednoznacznymi, przybierającymi wartości od 0 do rr²⁾. Dla x > 0 przybierają one wartości z pierwszej ćwiartki, a dla x < 0 — z drugiej.

3. Znaleźć pierwiastki x_ux₂ funkcji F(x) — x²4 10.x-f9 oraz wartości tej funkcji dla argumentu będącego odpowiednio średnią arytmetyczną oraz średnią geometryczną tych pierwiastków.

Rozwiązanie. Pierwiastkami (albo miejscami zerowymi) funkcji nazywamy takie wartości argumentu, dla których funkcja przybiera wartość równą zeru.

Pierwiastki funkcji F(x) znajdujemy, przyrównując funkcję do zera

x*+ IOjc-1-9 = 0

skąd x_x — —9, x₂ = — I.

⁰--7T<^arcsin*<-^;    - ~ < aretg* <

Ł    2    2

²¹ o < arc cos .v < n;    0 < arcctg* < jr.

Średnią arytmetyczną pierwiastków Xj i x₂ jest połowa ich sumy: ^Xlt^x* =

— —    *= — 5, a średnią geometryczną jest pierwiastek kwadratowy

z ich iloczynu: ]/x_{ x₂ — > 9 = 3. Szukane wartości funkcji będą wynosiły odpowiednio

f(—5) = (—5)²+10(—5)+9 = -16;    F(3) = 3²+10 • 3+9 = 48

4. Dana jest funkcja P(x) = *²—2*+^ — -^. Wykazać,że P^-jJ = P(x). Rozwiązanie. Podstawiajączamiast argumentu .x w wyrażeniu na P(x), wyznaczamy P |-jj

2

Zatem — P(^x) każdej wartości x. Na przykład

+x²-2x

W-

P(2)’= --J,    P(-10) = P(—0.1) = 120,21

5. Zbadać, która z danych funkcji jest parzysta, a która jest nieparzysta, lub nie ma żadnej z obu tych cech

*2

1) /O) = -TT

sin 2x

2) (p(x) — 4-2x⁴+ sin² x

3) u(x) = jc³+2x-1

4) y(x)

1 +a^kx 1 —a^kz

Rozwiązanie. Aby stwierdzić, czy dana funkcja Q(x) jest parzysta lub nieparzysta, trzeba wyznaczyć Q{—x). Podstawiając w powyższych wyrażeniach — x zamiast x, otrzymamy

1) /(-*) =

(-JC)²    S*

sin2(—x) ~ —sin 2x

sin 2x

zatem

/(-*) = -/(*) czyli funkcja f(x) jest nieparzysta.

2) <p(—x) = 4—2(—x)⁴+ sin²(—x) = 4 — 2x⁴+ sin²x

13