2500336030

Lista pierwsza - Podstawowe własności macierzy i wyznaczników

Działania na macierzach, transponowanie macierzy, rozwiązywanie prostych równań macierzowych, obliczanie wyznaczników, elementarne przekształcenia wyznaczników, wyznacznik macierzy transpono-wanej, badanie osobliwości macierzy, zastosowania twierdzenia Cauchy’ego.

Uwaga. Symbol M^mxn oznacza zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych A = [oy] o m wierszach i n kolumnach. Analogicznie oznacza się zbiór macierzy zespolonych: C^mxn.

Pytania

1.    Kiedy dwie macierze są równe?

2.    Czy mnożenie macierzy jest działaniem przemiennym i łącznym? Podać definicję tych działań oraz przykłady ilustrujące odpowiedź.

3.    Niech A będzie macierzą prostokątną rzeczywistą. Czy elementy na głównej przekątnej macierzy A^TA mogą być ujemne? Dlaczego? Podać wzory na elementy na głównej przekątnej macierz A^TA. Uwaga. A^T oznacza macierz transponowaną.

4.    Jakie elementarne przekształcenia wyznacznika nie zmieniają jego wartości?

5.    Jakie elementarne przekształcenie wyznacznika zmieni znak wyznacznika?

6.    Niech macierz A będzie symetryczna. Czy det A^TA — (det A)²? Z jakich własności wyznaczników wynika odpowiedź? Czy prawdą jest, że det A^T = det A dla dowolnych macierzy kwadratowych?

7.    Niech A będzie macierzą nieosobliwą. Dlaczego wówczas A nie może mieć dwóch takich samych kolumn? A czy może mieć dwa takie same wiersze?

8.    Czy iloczyn dwóch macierzy nieosobliwych stopnia n jest macierzą nieosobliwą? Z jakiego twierdzenia wynika odpowiedź?

9.    Kiedy macierz górna trójkątna jest nieosobliwą?

10.    Jaki jest warunek konieczny i dostateczny na istnienie macierzy odwrotnej A^-1? Podać definicję macierzy odwrotnej.

11.    Niech macierze A i B stopnia n będą nieosobliwe. Dlaczego istnieje macierz odwrotna (AS)^-1? Jak macierz odwrotna (AS)^-1 wyraża się za pomocą macierzy A^-1 i S^-1?

Lista pierwsza - zadania podstawowe

Zadanie 1.1

Sumę n składników s — a\ + 02 H-----b a_n zapisuje się w skrócie za pomocą znaku sumy

w następujący sposób:

k= 1

Udowodnić następujące wzory, wynikające z własności dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych:

J2(aa_k) =

fc=i    fc=i

^2 ak{h + c_k) =    akh + ^2 ^afcC*’

6