2567802547

Zauważmy, że równanie (2.6) w swej ogolnej postaci obejmuje kilka rożnych typów równan różniczkowo-całkowych i różnicowo-całkowych w zależności od wyboru skali czasowej T. Na przykład:

(1)    dla T = R mamy cr(t) = t,n(t) = 0,x^A(t) = x'(t) i problem (2.6) opisuje zagadnienie Cauchy’ego dla równania różniczkowo-całkowego postaci:

x\t) = f (t, x{t), k(t, s, x(s))As), teR, x(0) = x₀,

(2)    dla T = N mamy a(n) = n + 1, pin) = l,x^A(n) = Ax(n) - x(n + 1) - x(n), wtedy równanie (2.6) opisuje problem Cauchy’ego dla równań

Ax(t) = / (t, x(t), J₀^£ k(t, s, x(s))As), teN,

*(0) = x₀.

W pracy (21) wprowadzam nowe pojęcie rozwiązania zagadnienia (2.6) w sensie A - pseudo-rozwiązania. Przez takie rozwiązanie rozumiem funkcję x: I_a -> E spełniającą poniższe warunki:

(i)    *(•) jest funkcją typu ACG,,

(ii)    x(0) = x₀,

(iii)    dla każdego funkcjonału x*eE‘ istnieje zbiór A(x*j o mierze Lebesque’a równej zero taki, że dla każdego t g /4(x') zachodzi

(x*x)^A(t) = x* (t,x(t), J₀^£ k{t, s,x(s))As)).

Niech B = {xeE: ||*|| < ||x₀ll +p,p > 0}, B = {xe(C(/_a,E),(o):x(0) = x₀, \\x\\ < ||a:₀|| +p,p > 0} E(,x)(t) = x₀ + /₀^£/(z, x(z), J_Q^Z k(z, s, x(s))As) Az, tel_a,

K = {Fix):xeB}, K_x = {/₀^z/c(z,s,x(s))As:ze/_t = [0, t] n T,teI_a,xeB) .

Główny wynik pracy formułuję w postaci poniższego twierdzenia.

Twierdzenie 2.22 (21). Załóżmy, że dla każdej jednostajnie ACG, funkcji x:I_a-*E, funkcje k(-, s,x(s)), f (•, *(•), Jq ^ &(', s, x(s)) As) są całkowalne w sensie A-HKP oraz funkcje k,f są słabo-słabo ciągowo ciągłe. Załóżmy, że istnieją stałe c₁, c₂, c₃ > 0 takie, że P(fiI,A,C))<_Clp(A) + c₂-p(C)

dla dowolnych ograniczonych zbiorów A,C c B oraz I c I_a. Ponadto Pikil, I,X)) < c₃p{X), X a B, I c I_a, gdzie

f(I,A,C) = [fit,x_vx ₂): (t,x_vx₂)el x A x C), k(I,I,X) = {k(t,s,x): it,s,x)€l x I xX}. Załóżmy dodatkowo, że zbiory K oraz K_x są jednakowo ciągłe i jednostajnie ACG, na przedziale I_a Wtedy istnieje h-pseudo-rozwiązanie problemu (2.6) na przedziale la, dla pewnego d takiego, że 0 < d < a oraz 0 < d • c_x + d² ■ c₂ • c₃ < 1.

W pracy (21) udowodniłam także twierdzenie z innymi warunkami na zmniejszenie miary niezwartości

P-

19