3813100776

Fraktal jest sposobem widzenia nieskończoności okiem duszy. James Gleick²⁴

4. Równanie falowe

Równanie fali (13) jest rozwiązaniem pewnego równania zwanego równaniem falowym. Przystąpimy obecnie do jego wyprowadzenia. Najpierw przedstawimy bardzo uproszczony sposób otrzymywania tego równania posługując się równaniem (13). Następnie wyprowadzimy je w kilku prostych przypadkach posłygując się drugą zasadą dynamiki.

4.1. Proste wyprowadzenie

W celu wyprowadzenia równania falowego wyznaczymy odpowiednie pochodne cząstkowe rówania płaskiej fali monochromatycznej (25) i następnie wskażemy na pewne zależności pomiędzy nimi.

Różniczkujemy dwukrotnie wyrażenie (25) względem zmiennych x, y, z oraz t. W rezultacie otrzymujemy d²u

d²ii    ₂    .

= -yicos[u

d^2u    ₂    .

•    t — k • r + do] = —k²u,

•    t — k • r + cno] — —k²u,

d²u

= -w²Acos[u; ■ t - k • r + a₀] = -

dt²

Dodajmy stronami pochodne cząstkowe względem zmiennych przestrzennych. Wtedy

0²U d²U d²U    ,,₂    ,₂    . 2\    ,2

(29)

dx²    dy² dz²

gdzie wprowadzono operator Laplace’a, zwany krótko laplasjanem

dx^{2 +} By^{2 +} dz¹'

Zauważmy ponadto, że wyrażenie na pochodną cząstkową względem czasu 1 d²u ^u~ w¹ Bt¹'

Po podstawieniu tego wyrażenia do (29) otrzymujemy poszukiwaną postać równania falowego

A u = -

_A d²u 8²u d²u ^u~ dx^{2 +} dy² + Oz² =

1 d²u

i d²u

k² ■

J² dt²

c² dt² ’

(30)

Zadanie 16. Pokazać, że ((6) -f- (8)) spełniają jednowymiarowe równanie falowe (30), w którym k = k_x, k_y = k_z = 0 i c = ui/k.

²⁴Cytat pochodzi z książki: James Gleick, Chaos, Wydawnictwo Zysk i S-ka Wydawnictwo, Poznań 1996.

13