3813100781

(42)

Równanie ruchu (38) przyjmuje obecnie postać d²u

q 9²U

p-b —r — ó • lim

^K Ot²    Ax—*o

= _SJL (s^]=S-S- — dx\ dx)    0x²'

Ostatnią równość, po uwzględnieniu (41), zapiszemy w następujący sposób ( /du\ _ /0u\ \ _r\dx)_x+Ax \dxJx

Aa;

(43)

(44)

które po stosownych uproszczeniach³⁰ jest równaniem falowym dla poprzecznej fali w pręcie d²u _ pd²u dx² “ £ dt² '

Jak wynika z postaci tego równania prędkość fal podłużnych w pręcie wynosi

c«D

■ł.

Poniżej w tabeli podajemy wartości w prętach dla wybranych materiałów.

Materiał	m/s	Materiał	m/s
Pb	1200	Cyna	2730
Mosiądz	3300	Cu	3710
Cynk	3810	Szkło flint	4000
Ni	4780	Al	5040
Fe	5100	kwarc topiony	5370

(45)

Bardzo podobne rozważania można przeprowadzić w przypadku propagowania się wzdłuż rozpatrywanego pręta skręcenia (fal torsyjnych). Jeśli oznaczymy przez <j){x, t) kąt skręcenia przekroju znajdującego się w położeniu x w chwili czasu f, to równanie falowe opisujące propagację poprzecznej fali odkształceń <f>(x, t) ma postać d²<t> _ p d²<j>

Jak stąd wynika prędkość fal poprzecznych w pręcie wynosi

!• <«> gdzie G jest modułem skręcania (ścinania lub sztywności)³¹. Moduły G oraz £ są ze sobą związane relacją

2(1 + //)’

gdzie p jest współczynnikiem Poissona. Jeśli pręt o średnicy d poddany jest rozciąganiu (ściskaniu), to jego długość początkowa l zmienia się o A/, zaś d o Ad. Współczynnik Poissona określa związek:

Ad

Q =    -    (⁴⁷)

(48)

(49)

Pokazuje się, że współczynnik Poissona spełnia nierówność

0(p(0,5.

³⁰Założyliśmy jednorodność pręta więc £ nie może zależeć od x lub t.

³¹ Jeśli do górnej płaszczyzny ciała stałego w kształcie sześcianu przyłożymy stycznie do tej ściany naprężenie <T||, to górna płaszczyzna zostanie odchylona od pionu o kąt 7, taki że 7 = y • u, gdzie x jest współczynnikiem ścinania, skręcania lub sztywności. Module ścinania Q = \ j\

18