4292417158

5 Całki potrójne

Interpretacja geometryczna całki JJJ f(x, y, z)dxdydz to masa bryły V o gęstości w punkcie (x, y, z) równej f(x, y, z). W szczególności JJj ldxdydz to objętość bryły V.

Odpowiednikiem obszaru normalnego który pojawiał się przy całkach podwójnych jest tutaj walec uogólniony, czyli bryła, której rzutem na płaszczyznę jest obszar D, z góry ograniczona jest przez powierzchnię h(x,y), a z dołu przez powierzchnię g(x,iy) (uwaga: bryła musi być ”porządna”, czyli w szczególności ”bez dziur”). W takiej sytuacji możemy całkę potrójną zamienić na podwójną i pojedynczą:

JJJ_gf(x,y,z)dxdydz ⁼ JJ_D(f_g(xy) f(x,y,z)dz\dxdy

(co jest w zasadzie tym samym co przejście na współrzędne walcowe).

Przykład:

Policzmy objętość kuli o promieniu R. Umieśćmy ją w układzie współrzędnych tak, żeby środek był w punkcie (0,0,0). Policzmy objętość górnej połowy kuli - z dołu jest ona ograniczona przez płaszczyznę z = 0, a z góry przez brzeg kuli: 2 = \JR² - x² - y². Rzutem bryły na płaszczyznę OXY jest oczywiście koło D :x² + y² < R². Mamy więc:

|i ^ IfL^idxdydz‘    ld2 j dxdy = JJ^ (/R² - x² - y²)dxdy

Po przejściu na współrzędne biegunowe dostajemy dalej:

£' U    ar .(-!(* - rV¹) If = §»*

skąd oczywiście | V) =    czyli wyszło tyle ile powinno.

Tak samo jak w przypadku całki podwójnej, tak też w tym wypadku można dokonywać zamiany zmiennych i tak samo jak tam trzeba pamiętać o jakobianie (dla funkcji trzech zmiennych oczywiście mamy do czynienia z macierzą 3x3). W całce podwójnej najbardziej typowym podstawieniem było przejście na współrzędne biegunowe - w całce potrójnej podobnym podstawieniem jest przejście na współrzędne sferyczne, czyli: x = r cos 0 sin (j> y = r cosOcoscj) z = rsin#

r to oczywiście odległość punktu (x, y, z) od początku układu współrzędnych (w szczególności r² = x² + y² + z²), <t> to kąt skierowany między półosią dodatnią OX, a rzutem promienia na płaszczyznę OXY, natomiast 6 to kąt skierowany między dodatnią półosią OZ, a promieniem. Zakres zmian wartości nowych współrzędnych na przykład dla kuli o środku w (0,0,0) i promieniu R to: 0 <r < R, 0 <(j>< 2n, 0 < 0 < it.

Można policzyć, że jakobian nowego przekształcenia to r²sin0. Tak jak w przypadku funkcji dwóch zmiennych współrzędne biegunowe stosowaliśmy gdy mieliśmy do czynienia z obszarem "okrągłym”, tak współrzędne sferyczne stosujemy gdy bryła jest w jakiś sposób "kulista”.

Przykład:

Policzmy raz jeszcze objętość kuli o promieniu R, ale tym razem korzystając ze współrzędnych sferycznych. Zgodnie z poczynioną przed chwilą obserwacją odnośnie zakresu zmienności nowych zmiennych mamy:

| V\ = JJf_B \dxdydz =    (/„* (/₀^fl r² sin Odr) dO) d<j> = 2ir-(-cos <j>) |J • (y ) = 2tt • 2 • ^ = |7rR³

10