4292417175

Przykład:

Policzmy całkę JJ' (x + y)dxdy po obszarze 2 < 2x + y < 3, -1 < x - y < 1.

Narzucającym się podstawieniem jest 2x + y = u,x - y = v. Wówczas bowiem w zmiennych u,v nowy obszar będzie normalny, a nawet będzie prostokątem (co jest bardzo wygodne): 2 < u < 3, -1 < v < 1. Musimy jednak policzyć jeszcze jakobian. W tym celu łatwo wyznaczamy, że x = ^ oraz y = a zatem jakobian to: czyli moduł jakobianu to |. Nasza całka jest więc równa:

Ł ^ ■ \^dudv=i r ifj^2u - ^du

co już łatwo policzyć.

Najbardziej typową zamianą zmiennych jest przejście na współrzędne biegunowe: x = r cos <p y = t sin    \ J\ = r

Stosujemy je zawsze wtedy gdy obszar po którym całkujemy jest w jakiś sposób "okrągły” (koło, pierścień, wycinek koła itp.).

Przykład:

Policzmy całkę II _/ ^ -dr.dy po obszarze x² + y² < 1, y > 0.

-'-'^D \/x² + y²

Nasz obszar to górna połowa koła o środku w (0,0) i promieniu 1 - we współrzędnych biegunowych punkty tego obszaru spełniają nierówności 0 < (j> < n oraz 0 < r < 1 (jest to więc prostokąt, czyli obszar normalny!). Po powyższym podstawieniu otrzymamy zatem:

ł 1:    •^Tdr)^#=(r™⁴’) [£^rdr)^=2l2⁼ⁱ

Warto jeszcze odnotować, że pole dowolnego obszaru D to:

JJ 1dxdy

natomiast wzór na pole powierzchni płata (czyli kawałka powierzchni z = f(x,y) leżącego nad obszarem D) wyraża się wzorem:

ff_D\ll + U',Y*Ul)²dxiy

Ćwiczenia

4.1

Oblicz objętość brył ograniczonych powierzchniami:

a)    y = 2,y = x²,z = l,z = y + x c) y = 0,y = x²,z = 0,z = e^x e) x² + y² = l,z = 2,x + y + z = 3

b)    y = \/x,y = x,z = 0,z = _s/y d) x² + y² = 4,z = l,z = x² + y²

4.2

Oblicz pole płata:

a)    części sfery x² + y² + z² = 5 leżącej wewnątrz walca x² + y² = 1

b)    części stożka x² + y² = z² leżącej wewnątrz walca x² + y² = 2x

9