5792343804

początkowych 2i(0) = 2io, £2(0) = 2₂₀ i zerowych warunkach końcowych Xi(ti) = 0, 2₂(ii) = 0. Całkując równania stanu ze sterowaniem u°(t) = ±1 uzyskujemy

x₂(t) = Ci ±t, xi(t) = C₂ ± C\t ± 0.5t².

Z warunków początkowych wynika, że

x₂(0) = Ci =>• Ci = x₂₀, 21 (0) = C₂ =>■ C₂ = a^io-

Przebiegi współrzędnych stanu w funkcji czasu można zapisać jak następuje

Xi(t) = 0.5t² + x₂₀t ± Z10, x₂(t) = ±t + x₂₀.

Eliminujemy czas z tych zależności

0.52²(£) = 0.5(x₂o ± t)² = 0.5(220 =*= 2x₂ot ± t²) = 0.52²o ± 2201 ± 0.51² czyli

0.522(t) — 0.52²0 = 0.5t² ± x₂₀t i

±0.522 =F 0.52²o = ±0.5t² + 2₂₀t.

Ponieważ

2i(t) — 210 = ±0.5£² ± 2₂o£,

więc między współrzędnymi stanu Xi i x₂ zachodzi związek 21 = ±0.522 ± 0.522_O + ^xio-

Oznacza to, że trajektorie stanu układu ze sterowaniem optymalnym są parabolami jako funkcje 21 (2₂), przy czym dla sterowania u°(t) = ±1 mamy

2j = 0.522 ^— 0-5220 ± 2io,

a dla sterowania u°(t) = — 1 mamy

21 = —0.52² ± 0.52²o ± 2iq.

6