Prof. Piotr Chrzan
WYKA
AD
DYSKONTOWE METODY
OCENY PRZEDSI
WZI
Ć INWESTYCYJNYCH
1. Rodzaje i cechy wydatków inwestycyjnych
2. Wartość bieżąca netto
3. Wewnętrzna stopa zwrotu
4. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu
5. Zdyskontowany okres zwrotu nakładów inwe-
stycyjnych
6. Wskaz
nik rentowności inwestycji
7. Porównywanie projektów o różnych okresach
użytkowania
1
Prof. Piotr Chrzan
1. Rodzaje i cechy wydatków inwestycyjnych
Inwestowanie określa się jako finansowe angażowanie się
w jakieś przedsięwzięcie w nadziei uzyskania przyszłych
korzyści
Przedsięwzięcie jest to zespół czynności wzajemnie ze sobą
powiązanych, które mogą być akceptowane lub odrzucone
w całości.
Podział przedsięwzięć według celu, który mają zrealizować:
1. Przedsięwzięcia zastępujące istniejące dotychczas obiek-
ty przedsiębiorstwa
2. Przedsięwzięcia zwiększające skalę dotychczasowej
działalności
3. Przedsięwzięcia o charakterze strategicznym
4. Przedsięwzięcia wynikające z poprawy bezpieczeństwa
pracy, ekologii, dostosowania działalności do obowiązu-
jących przepisów
2
Prof. Piotr Chrzan
Cechy inwestowania
 wartość zaangażowania finansowego znana i pewna
 przyszłe korzyści jedynie możliwe, a więc niepewne
Inwestowanie (Inwestycje) dzielą się na:
 finansowe (akcje, obligacje, depozyty bankowe)
 rzeczowe (zakup maszyny, budowa zakładu)
Obie formy inwestowania są komplementarne.
Inwestowanie, spekulacja, hazard
Inwestorzy  podmioty inwestujące (indywidualni, instytu-
cjonalni (przedsiębiorstwa)
Przedmiotem badań analizy przedsięwzięć inwestycyjnych
przedsiębiorstwa (firmy) są wydatki inwestycyjne, które
przedsiębiorstwo ponosi na swoja działalność i związane z
nimi decyzje inwestycyjne.
Wydatki inwestycyjne rozpatrywane są jako nakłady, które
przedsiębiorstwo ponosi na konkretne aktywa materialne, a w
ich ramach na majątek trwały.
Decyzje inwestycyjne  ile?, w co? i jak inwestować?
Decyzje finansowe  jak pozyskiwać kapitał w celu realizacji
inwestycji?
3
Prof. Piotr Chrzan
Cechy nakładów i decyzji inwestycyjnych
 istotne obciążenie finansowe przedsiębiorstwa
 nakłady inwestycyjne angażowane są na długi okres
czasu
 decyzje inwestycyjne z reguły nieodwracalne lub bardzo
kosztowne
 korzyści uzyskuje się w przyszłości, nieraz odległej
 zawsze istnieje element ryzyka i niepewności czy prze-
widywane korzyści zastana osiągnięte
 znaczny wpływ na osiągnięcie celów finansowych
przedsiębiorstwa
 determinują przyszły kierunek rozwoju przedsiębiorstwa
 wpływają na poziom przyszłego niezbędnego majątku
obrotowego
Związki inwestowania z pozostałymi sferami działalności
przedsiębiorstwa
4
Prof. Piotr Chrzan
Analiza zdyskontowanych przepływów pieniężnych netto
Discounted Cash Flow Analysis
Przepływy środków pieniężnych  rzeczywisty przepływ śro-
dków pieniężnych netto, w przeciwieństwie do przepływów
bilansowych (metoda memoriałowa).
Przyrostowe przepływy środków pieniężnych  przepływy
środków pieniężnych netto przypisywane przedsięwzięciu
inwestycyjnemu.
Alternatywny koszt kapitału jest to stopa k dochodu (zwrotu)
jaką przedsiębiorstwo traci inwestując ten kapitał w przed-
sięwzięcie analizowane i rezygnując z lokaty kapitału w naj-
bardziej efektywne z możliwych przedsięwzięć alternatyw-
nych.
Koszt alternatywny (koszt utraconych korzyści) można roz-
ważać jako:
 koszt pozyskania kapitału przez przedsiębiorstwo
 stopę dochodu, której można oczekiwać od przedsię-
wzięcia podobnego.
5
Prof. Piotr Chrzan
2. . Wartość bieżąca netto
NPV Net Present Value
Wartość obecna netto
Wartość teraz
niejsza netto
Wartość zaktualizowana netto
CIF  Cash In Flow (wpływy środków pieniężnych)
CIFt  wpływy środków pieniężnych w okresie t
COF  Cash Out Flow (odpływy środków pieniężnych)
COFt  odpływy środków pieniężnych w okresie t
CF  Cash Flow (przepływ środków pieniężnych netto)
CFt  przepływ środków pieniężnych w okresie t
dla t= 0,1,2, ... n
CFt = CIFt - COFt
CFt+  dodatnie przepływy środków pieniężnych
CFt dla CFt e" 0
ż#
CFt+ =
�#
0 dla CFt < 0
�#
CFt-  ujemne przepływy środków pieniężnych
- CFt dla CFt d" 0
ż#
CFt- =
�#
0 dla CFt > 0
�#
CFt = CFt+ - CFt-
dla t= 0,1,2, ... n
6
Prof. Piotr Chrzan
Przykład 1. Przepływy środków pieniężnych w tys. zł.
związanych z realizacją przedsięwzięcia inwestycyjnego A.
Tabela 1.
Dodatni Ujemny
Rok Wpływ Odpływ Przepływ
przepływ przepływ
t CIFt COFt CFt
CFt+ CFt-
0 0 10 -10 0 10
1 0 5 -5 0 5
2 0 1 -1 0 1
3 0 1 -1 0 1
4 0 1 -1 0 1
5 0 1 -1 0 1
6 8 1 7 7 0
7 9 1 8 8 0
8 10 1 9 9 0
9 11 1 10 10 0
10 12 0 12 12 0
Razem
50 23 27 46 19
Wartość bieżąca netto inwestycji (Net Present Value) jest
to zaktualizowana na moment t = 0 wartość strumienia
przepływów pieniężnych netto CFt tej inwestycji.
7
Prof. Piotr Chrzan
n
NPV =
"CF (1+ k)-t
t
t=0
gdzie: CFt  przepływy środków pieniężnych w okresie t
k  Koszt kapitału (wymagana stopa zwrotu inwestycji)
n  okres życia inwestycji
CFt = CIFt  COFt
CIFt  wpływy środków pieniężnych
COFt  odpływy środków pieniężnych
n n
NPV = -
"CIF (1+ k)-t "COF (1+ k)-t
t t
t=0 t=0
NPV mierzy nadwyżkę zaktualizowanych na moment t=0
wpływów nad zaktualizowanymi na ten moment odpływa-
mi.
NPV mierzy nadwyżkę sumy zdyskontowanych na moment
t=0 wpływów nad sumą zdyskontowanych na ten moment
odpływów.
8
Prof. Piotr Chrzan
Przykład 2.
Wyznaczyć NPV projektu A dla kosztu kapitału k=10%.
4,63
4,24
21,13 4,20
4,11
3,95
12
7 8
9 10
1 3 4 5 6 9 10
2 8
7
t=0
-10 -5 -1 -1 -1
-10 -5 -1 -1 -1 -1
-4,55
-4,55
-0,83
-0,83
17,43
-17,43
-0,75
-0,75
-0,62
-0,68
`
-0,62
NPV = 21,13  17,43 = 3,7
Uzasadnienie metody NPV
Jeżeli projekt ma dodatnie NPV, tzn. ze dostarcza więcej
środków pieniężnych niż potrzeba do obsłużenia długu i
przyniesienia wymaganej stopy dochodu akcjonariuszom. O
te dodatkowe środki wzrasta wartość firmy.
9
Prof. Piotr Chrzan
CF1 CF2 CFn
NPV(k) = CF0 + + +L+
(1+ k)
(1+ k)2 (1+ k)n
NPV(k)  funkcja wymierna zmiennej stopy procentowej k
(kosztu kapitału)
v = (1+k)-1  czynnik dyskontujący
NPV(v) = CF0 + CF1v + CF2v2 +L+ CFnvn
NPV(v) wielomian n-tego stopnia czynnika dyskontującego v
Przykład 3
Wyznaczyć NPV inwestycji A dla różnych stóp procento-
wych k.
NPV(v) =  10 5v v2 v3 v4 v5+7v6 + 8v7 +9v8 +10v9 + 12v10
Tabela 2.
Stopa Czynnik Wartość bieżąca netto
procentowa dyskontujący inwestycji
k v NPV(k)=NVP
0.05 0.9524 12.6746
0.06 0.9434 10.5357
0.07 0.9346 8.5858
0.08 0.9260 6.8060
0.09 0.9174 5.1808
0.10 0.9090 3.6955
0.11 0.9009 2.3370
0.12 0.8928 1.0937
10
Prof. Piotr Chrzan
0.13 0.8850 -0.0450
0.15 0.8696 -2.0457
0.16 0.8621 -2.9239
0.17 0.8547 -3.7302
0.18 0.8474 -4.4709
0.19 0.8403 -5.1517
Rys.1
WYKRES FUNKCJA NPV(k)
30,00
27,00
25,00
23,56
20,44
20,00
17,60
15,02
15,00
12,67
10,54
10,00
8,59
6,81
5,18
5,00
3,70
2,34
1,09
-0,04
0,00
k 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13-1,09-2,05
0,14 0,15
-2,92
-5,00
Stopa Kosztu Kapitału
kg  graniczny koszt kapitału (minimalna stopa zwrotu z in-
westycji)
NPV(kg) > 0 - inwestycja akceptowana
NPV(kg) d" 0 - inwestycja odrzucona
Dla kg = 0,10 (10%) NPV = 3,6955 H" 3,7 j.p.
11
Wartość Bieżąca Projektu-A
Prof. Piotr Chrzan
 zainwestowanie odpowiednich kwot COFt (wydatki) wy-
generuje 3,7 j.p. więcej niż złożenie tych kwot na lokacie
bankowej oprocentowanej10%
 inwestycja generuje stopę zwrotu wyższą od kosztu kapi-
tału k = 10%
 jeżeli inwestor dla realizacji przedsięwzięcia skorzysta z
kredytu oprocentowanego na 10%, to uzyskane wpływy
wystarczą na spłatę kredytu i procentu, a ponadto wyge-
neruje nadwyżkę 3,7 j.p.
 jeżeli inwestycja zostanie zrealizowana, to wartość firmy
wzrosnie o 3,7 j.p.
Kryterium 1  Maksimum NPV
Przy ustalonej granicznej stopie kosztu kapitału (minimalnej
wymaganej stopie zwrotu) kg z kilku rozpatrywanych projek-
tów inwestycyjnych najlepszy jest ten dla którego NPV(kg)
przyjmuje wartość największą.
Wady kryterium NPV
12
Prof. Piotr Chrzan
aby skorzystać z kryterium należy ustalić graniczną sto-
pę kg
można porównywać jedynie projekty o tym samym cza-
sie trwania
projekt o małej wartości NPV może mieć dużą stopę
zwrotu
projekt o dużej wartości NPV nie musi mieć największej
stopy zwrotu
W przypadku zmiennych kosztów kapitału kt
n
NPV =
"CF (1+ kt )-t
t
t=0
gdzie:
CFt  przepływy środków pieniężnych w okresie t=0,1,2, ... n
kt  koszt kapitału w okresie t =1,2, ... n (k0 =0)
13
Prof. Piotr Chrzan
3. Wewnętrzna stopa zwrotu
(Internal Rate of Return - IRR)
Wewnętrzną stopę zwrotu określa się jako stopę procentową
dla której wartość bieżąca netto inwestycji jest równa zero.
NPV(IRR) = 0
n
NPV =
"CF (1+ IRR)-t = 0
t
t=0
CFt = CIFt - COFt dla t=0,1,2, ...n
n n
"CIF (1+ IRR)-t = "COF (1+ IRR)-t
t t
t=0 t=0
PV CIF(IRR) = PV COF(IRR)
PV(wpływów) = PV(odpływów)
IRR  stopa procentowa, dla której PV wpływów z projektu
równa się PV jego odpływów (kosztów)
IRR  oczekiwana średnia stopa dochodu z projektu
14
Prof. Piotr Chrzan
Uzasadnienie metody IRR
Jeżeli IRR przekracza koszt funduszy użytych do sfinanso-
wania projektu, to pozostaje nadwyżka, która jest kumulowa-
na przez właścicieli
n
NPV =
"CF (1+ IRR)-t = 0 �"(1+ IRR)-n
t
t=0
CF0 (1+ IRR)n + CF1(1+ IRR)n-1 +L+ CFn-1(1+ IRR) + CFn = 0
Wielomian n-tego stopnia zmiennej stopy procentowej IRR
Przykład 4.
Projekt inwestycyjny o przepływach pieniężnych netto
t 0 1 2
CFt -100 230 -132
NPV(IRR) =  100 + 230(1+IRR)-1  132(1+IRR)-2 = 0
 100(1+IRR)2 + 230(1+IRR)  132 = 0 /:( 100)
(1+IRR)2  2,3(1+IRR) + 1,32 = 0
IRR1 = 0,1 IRR2 = 0,2 (IRR  0,1)(IRR  0,2) = 0
15
Prof. Piotr Chrzan
NPV
0,1 0,2 k
Przykład 5
Projekt inwestycyjny o przepływach pieniężnych netto:
t 0 1 2
CFt -100 200 -101
NPV(IRR) =  100 + 200(1+IRR)-1  101(1+IRR)-2 = 0
 100(1+IRR)2 + 200(1+IRR)  101 = 0 /:(-100)
(1+IRR)2  2(1+IRR) + 1,01 = 0
IRR2 = -0,01 (IRR jest liczbą zespoloną)
Twierdzenie 1. (Kartezjusza)
Jeżeli W(x) jest wielomianem n-tego stopnia zmiennej x o postaci:
W(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0,
to liczba dodatnich pierwiastków równania W(x)=0
(z uwzględnieniem ich krotności) jest równa liczbie zmian
znaków w ciągu współczynników) an,an-1,an-2,...,a1,a0 (zera
pomijamy) lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą.
16
Prof. Piotr Chrzan
Wniosek.1.
Jeżeli strumień przepływów pieniężnych netto CFt zmienia
znak tylko jeden raz, to istnieje dokładnie jeden pierwiastek
dodatni równania PV(IRR) = 0. (IRR jest jednoznacznie
określona).
CFt  typowy rozkład w czasie (jednoznaczne IRR)
CFt  nietypowy rozkład w czasie (niejednoznaczne IRR)
Do wyznaczenia IRR dodatniego pierwiastka równania
NPV(IRR)=0 możemy stosować metody iteracyjne:
 metodę równego podziału,
 metodę interpolacji liniowej.
Przykład 6.
Wyznaczyć IRR projektu inwestycyjnego A z przykładu 1.
Z tabeli 2 wynika, że IRR"<0,12; 0,13>.
17
Prof. Piotr Chrzan
Tabela 3
Stopa Wartość bieżąca przepływów
procentowa pieniężnych netto
k NPV(k)
0,12 1,094
0,13 -0,050
0,125 0,512
0,1275 0,230
0,12875 0,092
0,12937 0,024
0,12968 -0,010
0,129525 0,007
0,1296025 -0,002
IRR H"12,96% dla projektu A
Metoda interpolacji liniowej
NPV
Przybliżona
wartość IRR
+
P1(k1 , NPV1+)
NPV1+
IRR2 IRR1
-
k1
+
k
k1 IRR
NPV1-
-
P2(k1 , NPV1- )
18
Prof. Piotr Chrzan
- +
(k1 - k1 )
+
IRR1 = k1 - NPV1+ H" IRR
(NPV1- - NPV1+)
Przykład. Obliczenie IRR metoda interpolacji liniowej
+
k1 = 0,12 NPV1+ = 1,0937
-
k1 = 0,13 NPV1- = -0,0450
(0,13 - 0,12)
IRR1 = 0,12 -1,0937
(-0,0450 -1,0937)
IRR1 = 0,12 -1,0937(-0,00878) = 0,12 + 0,0096 = 0,1296
IRR H" 12,96
kg  graniczna stopa kosztu kapitału
IRR e" kg - inwestycję akceptujemy
IRR < kg - inwestycję odrzucamy
Kryterium 2. Maksimum IRR
Z kilku rozważanych projektów inwestycyjnych najlepszym
jest ten, dla którego IRR przyjmuje wartość największą.
19
Prof. Piotr Chrzan
Wady kryterium 2
nie można go stosować do porównywania projektów in-
westycyjnych o różnym czasie trwania
nie można go stosować w przypadku porównywania pro-
jektów inwestycyjnych różniących się skalą wielkości
nie można go stosować w przypadku częstych zmian
znaku przepływów pieniężnych netto.
Miara ryzyka projektu  Margines bezpieczeństwa
Mb = IRR  kg
Margines bezpieczeństwa odpowiada na pytanie, w jakim
stopniu może zmienić się koszt kapitału, nie prowadząc do
ujemnej wartości NPV projektu
gdzie: Mb  margines bezpieczeństwa
IRR  wewnętrzna stopa zwrotu
kg  graniczna stopa (koszt kapitału)
20
Prof. Piotr Chrzan
Porównanie metod NPV i IRR
Przykład 7.
Rozważmy projekty S i L o następujących przepływach pie-
niężnych netto:
t 0 1 2 2 4
Projekt S CFt  1000 500 400 300 100
Projekt L CFt  1000 100 300 400 600
IRRS = 14,5% IRRL = 11,8%
NPVS(7,2%)=NPVL(7,2%)
Rys. 2. Wykresy funkcji NPV(k) projektów S i L
WYKRESY FUNKCJI NPV(k)
Projekt-S Projekt-L
500,00
400,00
300,00
200,00
100,00
0,00
-100,00
-200,00
Stopa Kosztu Kapitału
21
NPV-Projektu
k
1
3
9
0
0
07
,05
,
,0
,11
,13
0,
0,
0
0
0
0
0
Prof. Piotr Chrzan
Projekty S i L wzajemnie się wykluczają.
Jeżeli koszt kapitału k >7,2%, to NPVS> NPVL i IRRS >IRRL.
Obie metody prowadzą do identycznych wyborów.
Jeżeli koszt kapitału k< 7,2%, to NPVL> NPVS i IRRS >IRRL.
Istnieje konflikt kryteriów.
Przyczyny konfliktów kryteriów NPV i IRR
istnieje różnica w skali (rozmiarze) projektów
istnieje różnica w rozkładzie w czasie przepływów pie-
niężnych netto CFt projektów
Metoda NPV zakłada, że przepływy środków pieniężnych
CFt+zostaną powtórnie reinwestowane po koszcie kapitału.
Metoda IRR zakłada, że przepływy środków pieniężnych
CFt+zostaną powtórnie zainwestowane ze stopą IRR
Można wykazać, ze najlepsze założenie to założenie o re-
inwestowaniu środków po koszcie kapitału.
Projekty niezależne  NPV i IRR przynoszą takie same decy-
zje o przyjęciu lub odrzuceniu projektu
22
Prof. Piotr Chrzan
Projekty wzajemnie się wykluczające  NPV i IRR mogą
przynieść różne decyzje o przyjęciu lub
odrzuceniu projektu.
Dla projektów wzajemnie się wykluczających powinno sto-
sować się NPV
4. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu
MIRR  Modyfied Internal Rate of Return
CFt+  dodatnie przepływy środków pieniężnych netto
CFt-  ujemne przepływy środków pieniężnych netto
k  stopa kosztu kapitału
r  stopa reinwestycji kapitału
k `" r lub k = r
n
PV(CFt- ) =
"CF- (1+ k)-t
t
t=0
n
FV(CFt+ ) =
"CF+ (1+ r)n-t
t
t=0
PV(CFt- ) = FV(CFt+ )(1+ MIRR)-n
23
Prof. Piotr Chrzan
Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu -MIRR
Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu to taka stopa pro-
centowa, która zrównuje wartość przyszłą dodatnich prze-
pływów pieniężnych netto z wartością bieżącą ujemnych
przepływów pieniężnych netto.
Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu oznacza wartość
stopy procentowej, dla której wartość przyszła reinwestowa-
nych według sposobności rynkowych wpływów netto jest rów-
na wartości bieżącej wydatków netto.
1
n
�# ś#
FV(CFt+ )
ś# ź#
MIRR = -1
ś# ź#
PV(CFt- )
�# #
gdzie: MIRR - zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu
FV(CFt+)  wartość przyszła dodatnich przepływów pienięż-
nych netto
PV(CFt-)  wartość bieżąca ujemnych przepływów pienięż-
nych netto
n  czas realizacji projektu
kg  graniczna stopa kosztu kapitału
24
Prof. Piotr Chrzan
Jeżeli MIRR e" kg  inwestycję akceptujemy
Jeżeli MIRR < kg  inwestycję odrzucamy
Przykład 8.
Obliczyć MIRR projektu A. Koszt kapitału kg = 10%,
stopa reinwestycji r = 10%
v = (1+kg) 1 czynnik dyskontujący
u = (1+r)  czynnik procentowy
Tabela 3
Wydatki Przychody Zaktualizowane Zaktualizowane
Rok
netto netto wydatki netto przychody netto
t
CFt- CFt+ CFt-�" vt CFt+�" un-t
0 10 0 10,000 0,000
1 5 0 4,545 0,000
2 1 0 0,826 0,000
3 1 0 0,751 0,000
4 1 0 0,683 0,000
5 1 0 0,321 0,000
6 0 7 0,000 10,249
7 0 8 0,000 10,648
8 0 9 0,000 10,890
9 0 10 0,000 11,000
10 0 12 0,000 12,000
Suma 17,427 54,787
25