METODY UŚREDNIANIA
W RACHUNKU DYSKONTA
Agnieszka Kaczmarek
Agnieszka Kaczmarek
Dyskontowanie proste
i sumy dyskontowe
Dyskontowanie proste i liczenie sum
dyskontowych wykorzystywane jest
w celu przeliczania rozłożonych w
w celu przeliczania rozłożonych w
czasie strumieni pieniężnych na jeden
moment czasowy. Efektem tych
operacji jest uzyskanie jednego
strumienia pieniężnego przypisanego
do wybranego momentu czasowego.
2
Efekt dyskontowania
3
Cel uśredniania
Uśrednianie w rachunku dyskonta
wykorzystuje się w celu rozłożenia
skupionego strumienia pieniężnego
na lata z wybranego okresu i uzyskanie
na lata z wybranego okresu i uzyskanie
strumieni pieniężnych obciążających
jednakowo wszystkie lata.
4
Cel uśredniania
" Warunkiem poprawności operacji
uśrednienia jest uzyskanie
równoważności strumieni w sensie
równoważności strumieni w sensie
rachunku dyskonta.
5
Warunek równoważności
Sumy dyskontowe strumieni pieniężnych:
uśrednianych i uśrednionych policzone na
wybrany (dowolny) moment czasowy muszą
być jednakowe!
być jednakowe!
M M
Kd = =
"K (1+ p)-t "K (1+ p)-t
t e
t=0 t=0
gdzie :
Kt - usredniane strumienie pieniezne
6
Ke - usrednione (równowazne) strumienie pieniezne
Uśrednienie pojedynczego strumienia
Kd
Okres uśrednienia (T lat)
uśrednianie
Ke
Ke KeKe
0 1 2 T
dyskontowanie
7
Uśrednienie pojedynczego
strumienia - zależności
T
Kd =
"K (1+ p)-t
e
t=1
T T
Kd = =
"K (1+ p)-t Ke"(1+ p)-t
e
t=1 t=1
t=1 t=1
Kd Kd
Ke = = =
T
"(1+ p)-t (1+ p)-1 1- (1+ p)-T
1- (1+ p)-1
t=1
Kd Kd Kd
= = = = Kdr
(1+ p)T -1 (1+ p)T -1 (1+ p)T -1
1
(1+ p)T (1+ p)T [(1+ p) -1] (1+ p)T p
(1+ p) -1
(1+ p)
8
(1+ p)
Uśrednienie pojedyńczego
strumienia  zależności (cd.)
Kd
Ke = = Kdr
(1+ p)T -1
(1+ p) p
(1+ p)T p
1 p(1+ p)T
r = =
(1+ p)T -1 (1+ p)T -1
(1+ p)T p
p(1+ p)T
Ke = Kdr r =
9
(1+ p)T -1
Współczynnik uśredniający
Współczynnik uśredniający na lata kolejne
(okres przyszły):
p(1+ p)
p(1+ p)T
r =
r =
(1+ p)T -1
gdzie :
p - stopa dyskonta
T - okres usredniania
r - wspólczynnik usredniajacy
10
Uśrednienie pojedyńczego
strumienia - zastosowania
" Liczenie rat kredytu przy jednakowych
spłatach ( metoda anniuitetowa lub
 metoda równych spłat )
 metoda równych spłat )
" Obliczanie średnich (równoważnych)
obciążeń rocznych kosztami
poniesionymi jednorazowo
11
Obliczanie średnich (równoważnych)
obciążeń rocznych kosztami poniesionymi
jednorazowo
dyskontowanie
Okres uśrednienia (T lat)
Kd
Kt
Kt
uśrednianie
KeKe KeKe
0 1 2 T
dyskontowanie
12
Obliczanie średnich (równoważnych) obciążeń
rocznych kosztami poniesionymi jednorazowo
Zależności:
Kd = Kt (1+ p)
Kd = Kt (1+ p)-t
Ke = rKd = rKt (1+ p)-t
p(1+ p)T
r =
(1+ p)T -1
13
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
Znalezienie średnich (równoważnych)
strumieni pieniężnych, jednakowo
obciążających lata od 1 do T, które
obciążających lata od 1 do T, które
będą równoważne (w sensie rachunku
dyskonta) rzeczywistym strumieniom
pieniężnym zmiennym w tym samym
okresie.
14
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
Okres uśrednienia (T lat)
uśrednianie
Kt Ke
0 1 2 T
15
Uśrednianie zmiennych w czasie
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
przepływów pieniężnych w okresie T
dyskontowanie na  rok 0
Okres uśrednienia (T lat)
Kd
Kt Ke
0 1 2 T
16
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
dyskontowanie
Okres uśrednienia (T lat)
Kd
Kt Ke
0 1 2 T
dyskontowanie
17
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
Zależności:
T
Kd =
"K (1+ p)-t
t
t=1
t=1
T
Ke = rKd = r
"K (1+ p)-t
t
t=1
p(1+ p)T
r =
18
(1+ p)T -1
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
(dyskonto na rok ostatni)
dyskontowanie na  rok T
Okres uśrednienia (T lat) K
d
Kt Ke
0 1 2 T
19
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
(dyskonto na rok ostatni)
dyskontowanie na  rok T
Okres uśrednienia (T lat) K
d
Kt Ke
0 1 2 T
dyskontowanie
20
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
(dyskonto na rok ostatni) - zależności
T T
-t -t
2 2
Kd = Kd =
"K (1+ p)T "K (1+ p)T
e t
t=1 t=1
T T
-t -t
2
Kd = = Ke
"K (1+ p)T "(1+ p)T
e
t=1 t=1
t=1 t=1
2 2 2
Kd Kd Kd
Ke = = = =
T T
-t
(1+ p)T
"(1+ p)T "(1+ p)-t (1+ p)T (1+ p)-1 1- (1+ p)-T
1- (1+ p)-1
t=1 t=1
2 2 2
Kd Kd Kd
2
= = = = Kdar
(1+ p)T -1 (1+ p)T -1 (1+ p)T -1
(1+ p)T
(1+ p)T (1+ p) -1 p
(1+ p) -1
(1+ p)
21
(1+ p)
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
(dyskonto na rok ostatni)  zależności (cd.)
2
Kd
2
Ke = = Kdar
(1+ p)T -1
p
p
1 p
ar = =
(1+ p)T -1 (1+ p)T -1
p
p
2
Ke = Kdar ar =
22
(1+ p)T -1
Współczynnik uśredniający przy
dyskoncie na rok ostatni
Współczynnik uśredniający na lata
poprzedzające (dyskonto na rok ostatni):
p
a =
ar =
(1+ p)T -1
gdzie :
p - stopa dyskonta
T - okres usredniania
ar - wspólczynnik usredniajacy
23
przy dyskoncie na rok ostatni
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
- zastosowania
" Uśrednianie zmiennych w czasie kosztów
eksploatacyjnych
" Uśrednianie przychodów
" Uśrednianie zysków
" Uśrednianie zysków
" Uśrednianie efektów rocznych (wyrażanych w
jednostkach niepieniężnych)
" Obliczanie średnich kosztów jednostkowych
(po wcześniejszym uśrednieniu kosztów i
efektów)
" Wyznaczanie średniej ceny w okresie
wieloletnim
24
Tabela współczynników
uśredniających
5% 5% 10% 10%
r ar r ar
1 1,05000 1,00000 1,10000 1,00000
2 0,53780 0,48780 0,57619 0,47619
2 0,53780 0,48780 0,57619 0,47619
3 0,36721 0,31721 0,40211 0,30211
4 0,28201 0,23201 0,31547 0,21547
5 0,23097 0,18097 0,26380 0,16380
10 0,12950 0,07950 0,16275 0,06275
15 0,09634 0,04634 0,13147 0,03147
20 0,08024 0,03024 0,11746 0,01746
25
30 0,06505 0,01505 0,10608 0,00608
Zależność między
współczynnikami uśredniającymi
r = ar + p
r = ar + p
r = ar (1+ p)T
26
Podsumowanie
Uśrednienie  na okres przyszły
Kd
Okres uśrednienia (T lat)
Uśrednianie  współczynnik r
KeKe KeKe
0 1 2 T
p(1+ p)T
Ke = rKd r =
27
(1+ p)T -1
Podsumowanie
Uśrednienie  na okres wcześniejszy
K
d
Okres uśrednienia (T lat)
Uśrednianie  współczynnik ar
KeKe KeKe
0 1 2 T
p
2
Ke = ar Kd ar =
28
(1+ p)T -1