Wyznaczanie rozwiązań układu równań liniowych
(układy typu dowolnego)
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Niech AX = B będzie układem równań liniowych o n niewiadomych oraz
rz(A) = rz(A|B) = r < n.
Wtedy układ AX = B ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n  r parametrów.
Algorytm rozwiązywania układów równań liniowych o n niewiadomych
AX = B, gdy rz(A) = rz(A|B) = r < n.
1. Wyznaczamy minor rzędu r macierzy A .
2. Pomijamy wszystkie równania układu, których współczynniki nie weszły do wyróż-
nionego minora.
3. Tworzymy układ o r niewiadomych oraz n  r parametrach.
4. Rozwiązujemy otrzymany układ:
a) traktując go jako układ Cramera bądz

b) stosujÄ…c metodÄ™ eliminacji Gaussa.
5. Podajemy ogólne rozwiązanie układu AX = B.
Przykład 1.
2x + y
Å„Å‚ - z + t = 1
ôÅ‚
Rozwiąż układ równań: y + 3z - 3t = 1 .
òÅ‚
ôÅ‚
x + y + z - t = 1
ół
W tym przypadku liczba niewiadomych (4 ) jest większa niż liczba równań (3).
Tworzymy macierz uzupełnioną układu i przekształcamy ją:
2 1
îÅ‚ -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 1 3 - 3 1śł ïÅ‚0 1 3 - 3 1śł ïÅ‚0 1 3 - 3 1 śł ïÅ‚0 1 3 - 3 1śł
; ; ; .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł śł śł śł
ðÅ‚1 1 1 -1 1ûÅ‚ ïÅ‚ 1 -1 1 1ûÅ‚ ïÅ‚ -1 - 3 3 -1ûÅ‚ ïÅ‚ 0 0 0 0ûÅ‚
ðÅ‚2 ðÅ‚0 ðÅ‚0
Otrzymujemy następujący układ równań równoważny danemu:
1
x + y + z - t =1
Å„Å‚
ôÅ‚
0x + y + 3z - 3t =1
òÅ‚
ôÅ‚0x + 0y + 0z + 0t = 0
ół
Zauważmy, że każda czwórka liczb podstawiona w miejsce niewiadomych spełnia rów-
nanie trzecie; zatem tylko rozwiązania układu utworzonego z dwóch pierwszych równań będą
rozwiązaniami układu wyjściowego.
x + y + z - t =1
Å„Å‚
Opuszczamy trzecie równanie i otrzymujemy układ
òÅ‚0x + y + 3z - 3t =1.
ół
x + y =1- z + t
Å„Å‚
Ten układ jest równoważny układowi
òÅ‚0x + y =1- 3z + 3t .
ół
Przekształcamy tę macierz:
1 1 1 -1 1 1 0 - 2 2 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
; .
ïÅ‚0 1 3 - 3 1śł ïÅ‚0 1 3 - 3 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0
îÅ‚ - 2 2 0
Å‚Å‚
Macierz uzupełnioną doprowadziliśmy do postaci , czyli [I | X].
ïÅ‚0 1 3 - 3 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Mamy 4 niewiadome a rząd macierzy wynosi 2, więc są 2 parametry.
Przyjmując z i t jako parametry (są to współczynniki występujące przy niewiadomych poza
1 0 x
îÅ‚ Å‚Å‚ Å„Å‚ - 0y = 2z - 2t x = 2z - 2t
Å„Å‚
macierzą ) otrzymujemy układ , czyli .
òÅ‚ òÅ‚
ïÅ‚0 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ół0x + y = -3z + 3t +1 óły = -3z + 3t +1
x = 2z- 2t, y = -3z + 3t+1, z "R, t "R.
2z
îÅ‚ - 2t
Å‚Å‚
ïÅ‚1- 3z + 3tśł
ïÅ‚ śł
Ostatecznie macierz X rozwiązań będzie następująca: X = , gdzie z, t mogą być
ïÅ‚ śł
z
ïÅ‚ śł
t
ðÅ‚ ûÅ‚
dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Jest to tzw. rozwiązanie ogólne; rozwiązania szczegółowe otrzymamy przyjmując za
parametry z, t konkretne liczby. Na przykład dla z = 3, t = -5 otrzymujemy takie rozwiązanie
2 Å"3
îÅ‚ - 2(-5) 16
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1- 3Å" 3 + 3(-5)śł ïÅ‚- 23śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
X = = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
- 5 - 5
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Inne rozwiązania szczególne, np.:
2
2 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚- 5śł ïÅ‚1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
gdy z= 1, t =2 , to , gdy z= 0, t =0 , to ,
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚0śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
8
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 20
Å‚Å‚
ïÅ‚-11śł ïÅ‚ śł
31
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
gdy z= -3, t =1 , to , gdy z= 6, t = -4 , to .
ïÅ‚ - 3 6
śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 - 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Przykład 2.
x + y + z = 2
Å„Å‚
ôÅ‚- x + 2y + 3z = 2
ôÅ‚
Rozwiąż układ równań:
òÅ‚
2x - 3y - z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
x - y - z = 0
ół
W tym przypadku liczba równań jest większa od liczby niewiadomych
Przekształcamy macierz uzu[pełnioną układu:
1 1 1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚-1 2 3 2śł
ïÅ‚ śł
;
ïÅ‚- 2 - 3 -1 1
śł
ïÅ‚ śł
1 -1 -1 0ûÅ‚
ðÅ‚
po kolejnych przekształceniach doprowadzimy do macierzy
1 0 0 1 1 0 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 1 1 1śł ïÅ‚0 1 0 0śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
i dalej
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0 1 1 0 0 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 2 2ûÅ‚ ðÅ‚0 0 0 0ûÅ‚
Pomijamy czwarty wiersz, bo równanie mu odpowiadające (0x + 0y+0z=0) nie wnosi nowych
informacji o niewiadomych. Otrzymujemy
1 0 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0
1 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 1 1ûÅ‚
1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0śł
Z tej macierzy odczytujemy rozwiÄ…zanie X = , jest to jedyne rozwiÄ…zanie.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚1śł
ûÅ‚
3
Ćwiczenia
1. Rozwiąż układ równań.
1 1 1 1 4 1 x
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 2
Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚1 ïÅ‚ ïÅ‚ śł
a) [x y z] 8 4 0śł = [4 0 -5] , b) 1 - 2śł Å" yśł = 4 ,
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚- 8 0 9śł ïÅ‚0 1 1 śł ïÅ‚ zśł ïÅ‚ 1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚2 1 - 1 1 îÅ‚1 1 1 0
Å‚Å‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 ïÅ‚2
śł śł
c) 2 3 1 , d) - 1 - 1 - 3 .
ïÅ‚ ïÅ‚
śł śł
ïÅ‚ ïÅ‚ - 1 1 0 śł
ûÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚1 1 1 - 1 śł ðÅ‚1
2. Określ istnienie i liczbę rozwiązań układu równań.
x1 + x2 + x3 = 0 x1
Å„Å‚ Å„Å‚ - 3x2 + x3 + x4 + x5 = 0
ôÅ‚ ôÅ‚-
a) 2x1 - x2 - x3 = -3 , b) x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + 2x5 = 2 ,
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚4x1 - 5x2 - 3x3 = -7 ôÅ‚
2x1 - x2 - 4x3 + x4 - 6x5 = 3
ół ół
x1 + 2x2 + x3 = 2 x1
Å„Å‚ Å„Å‚ - 2x2 = 2
ôÅ‚ ôÅ‚2x - 4x2 = 1
2x1 + 3x2 - x3 = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
1
c) , d)
òÅ‚ òÅ‚x - 5x2 = -3 .
x2 - 5x3 = -3
1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚x1 + 2x2 - 4x3 = -1 ôÅ‚x1 - 4x2 = -1
ół ół
3. Odczytaj wprost rozwiązania układu równań liniowych z niewiadomymi x, y, z, s, t.
0
îÅ‚ - 1 0 0 1 3
Å‚Å‚
îÅ‚- 2 0 1 1 0 5
Å‚Å‚
ïÅ‚0 6 0 1 0 2śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
a) 1 1 - 1 0 0 2śł , b) .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚1 1 0 0 0 1śł
ïÅ‚ 3 0 2 0 1 3śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚0 2 1 0 0 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚
4. Rozwiąż układ równań.
x
Å„Å‚ - y - 2z + 2t = -2
2x + 4 y + 7z - 4t = -6
Å„Å‚
ôÅ‚3x - 2 y + 2z - 2t = -4
ôÅ‚ ôÅ‚
a) , b) 3x + 6y + 7z + t = 5 ,
òÅ‚ òÅ‚
5x - 3y - z + t = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
x + 2y + 3z - t = -1
ół
ôÅ‚
2x + y - z + t = 1
ół
2
îÅ‚ - 2 1 - 1 1 x1 1
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
T
x 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ - 1 1 1 1
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 2 - 1 1 - 2śł ïÅ‚x śł ïÅ‚ śł
1
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚- ïÅ‚1śł ïÅ‚2śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
c) = , d) y 4 -12 1śł = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚4 - 10 5 - 5 7 śł ïÅ‚x3 śł ïÅ‚ 1 śł
ïÅ‚ zśł ïÅ‚ 3 3 1śł ïÅ‚1śł ïÅ‚3śł
ïÅ‚2 - 14 7 - 7 11 śł ïÅ‚x śł ïÅ‚- 1śł ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 4 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
4