Wyznaczanie rozwiązań układu równań liniowych
(układy typu dowolnego)
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Niech AX = B będzie układem równań liniowych o n niewiadomych oraz
rz(A) = rz(A|B) = r < n.
Wtedy układ AX = B ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n  r parametrów.
Algorytm rozwiązywania układów równań liniowych o n niewiadomych
AX = B, gdy rz(A) = rz(A|B) = r < n.
1. Wyznaczamy minor rzędu r macierzy A .
2. Pomijamy wszystkie równania układu, których współczynniki nie weszły do wyróż-
nionego minora.
3. Tworzymy układ o r niewiadomych oraz n  r parametrach.
4. Rozwiązujemy otrzymany układ:
a) traktując go jako układ Cramera bądz

b) stosując metodę eliminacji Gaussa.
5. Podajemy ogólne rozwiązanie układu AX = B.
Przykład 1.
2x + y
ńł - z + t = 1
�ł
Rozwiąż układ równań: y + 3z - 3t = 1 .
�ł
�ł
x + y + z - t = 1
ół
W tym przypadku liczba niewiadomych (4 ) jest większa niż liczba równań (3).
Tworzymy macierz uzupełnioną układu i przekształcamy ją:
2 1
�ł -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1
łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł0 1 3 - 3 1śł �ł0 1 3 - 3 1śł �ł0 1 3 - 3 1 śł �ł0 1 3 - 3 1śł
; ; ; .
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł śł śł śł
�ł1 1 1 -1 1�ł �ł 1 -1 1 1�ł �ł -1 - 3 3 -1�ł �ł 0 0 0 0�ł
�ł2 �ł0 �ł0
Otrzymujemy następujący układ równań równoważny danemu:
1
x + y + z - t =1
ńł
�ł
0x + y + 3z - 3t =1
�ł
�ł0x + 0y + 0z + 0t = 0
ół
Zauważmy, że każda czwórka liczb podstawiona w miejsce niewiadomych spełnia rów-
nanie trzecie; zatem tylko rozwiązania układu utworzonego z dwóch pierwszych równań będą
rozwiązaniami układu wyjściowego.
x + y + z - t =1
ńł
Opuszczamy trzecie równanie i otrzymujemy układ
�ł0x + y + 3z - 3t =1.
ół
x + y =1- z + t
ńł
Ten układ jest równoważny układowi
�ł0x + y =1- 3z + 3t .
ół
Przekształcamy tę macierz:
1 1 1 -1 1 1 0 - 2 2 0
�ł łł �ł łł
; .
�ł0 1 3 - 3 1śł �ł0 1 3 - 3 1śł
�ł �ł �ł �ł
1 0
�ł - 2 2 0
łł
Macierz uzupełnioną doprowadziliśmy do postaci , czyli [I | X].
�ł0 1 3 - 3 1śł
�ł �ł
Mamy 4 niewiadome a rząd macierzy wynosi 2, więc są 2 parametry.
Przyjmując z i t jako parametry (są to współczynniki występujące przy niewiadomych poza
1 0 x
�ł łł ńł - 0y = 2z - 2t x = 2z - 2t
ńł
macierzą ) otrzymujemy układ , czyli .
�ł �ł
�ł0 1śł
�ł �ł ół0x + y = -3z + 3t +1 óły = -3z + 3t +1
x = 2z- 2t, y = -3z + 3t+1, z "R, t "R.
2z
�ł - 2t
łł
�ł1- 3z + 3tśł
�ł śł
Ostatecznie macierz X rozwiązań będzie następująca: X = , gdzie z, t mogą być
�ł śł
z
�ł śł
t
�ł �ł
dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Jest to tzw. rozwiązanie ogólne; rozwiązania szczegółowe otrzymamy przyjmując za
parametry z, t konkretne liczby. Na przykład dla z = 3, t = -5 otrzymujemy takie rozwiązanie
2 �"3
�ł - 2(-5) 16
łł �ł łł
�ł1- 3�" 3 + 3(-5)śł �ł- 23śł
�ł śł �ł śł
X = = .
�ł śł �ł śł
3 3
�ł śł �ł śł
- 5 - 5
�ł �ł �ł �ł
Inne rozwiązania szczególne, np.:
2
2 0
�ł łł �ł łł
�ł- 5śł �ł1śł
�ł śł �ł śł
gdy z= 1, t =2 , to , gdy z= 0, t =0 , to ,
�ł śł �ł śł
1 0
�ł śł �ł0śł
2
�ł �ł �ł �ł
8
�ł łł �ł- 20
łł
�ł-11śł �ł śł
31
�ł śł �ł śł
gdy z= -3, t =1 , to , gdy z= 6, t = -4 , to .
�ł - 3 6
śł �ł śł
�ł śł �ł śł
1 - 4
�ł �ł �ł �ł
Przykład 2.
x + y + z = 2
ńł
�ł- x + 2y + 3z = 2
�ł
Rozwiąż układ równań:
�ł
2x - 3y - z = 1
�ł
�ł
x - y - z = 0
ół
W tym przypadku liczba równań jest większa od liczby niewiadomych
Przekształcamy macierz uzu[pełnioną układu:
1 1 1 2
�ł łł
�ł-1 2 3 2śł
�ł śł
;
�ł- 2 - 3 -1 1
śł
�ł śł
1 -1 -1 0�ł
�ł
po kolejnych przekształceniach doprowadzimy do macierzy
1 0 0 1 1 0 0 1
�ł łł �ł łł
�ł0 1 1 1śł �ł0 1 0 0śł
�ł śł �ł śł
i dalej
�ł śł �ł śł
0 0 1 1 0 0 1 1
�ł śł �ł śł
�ł0 0 2 2�ł �ł0 0 0 0�ł
Pomijamy czwarty wiersz, bo równanie mu odpowiadające (0x + 0y+0z=0) nie wnosi nowych
informacji o niewiadomych. Otrzymujemy
1 0 0 1
�ł łł
�ł0
1 0 0śł
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1 1�ł
1
�ł łł
�ł0śł
Z tej macierzy odczytujemy rozwiązanie X = , jest to jedyne rozwiązanie.
�ł śł
�ł
�ł1śł
�ł
3
Ćwiczenia
1. Rozwiąż układ równań.
1 1 1 1 4 1 x
�ł łł �ł łł �ł łł �ł- 2
łł
�ł �ł1 �ł �ł śł
a) [x y z] 8 4 0śł = [4 0 -5] , b) 1 - 2śł �" yśł = 4 ,
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł- 8 0 9śł �ł0 1 1 śł �ł zśł �ł 1 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł2 1 - 1 1 �ł1 1 1 0
łł łł
�ł0 �ł2
śł śł
c) 2 3 1 , d) - 1 - 1 - 3 .
�ł �ł
śł śł
�ł �ł - 1 1 0 śł
�ł �ł
�ł1 1 1 - 1 śł �ł1
2. Określ istnienie i liczbę rozwiązań układu równań.
x1 + x2 + x3 = 0 x1
ńł ńł - 3x2 + x3 + x4 + x5 = 0
�ł �ł-
a) 2x1 - x2 - x3 = -3 , b) x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + 2x5 = 2 ,
�ł �ł
�ł4x1 - 5x2 - 3x3 = -7 �ł
2x1 - x2 - 4x3 + x4 - 6x5 = 3
ół ół
x1 + 2x2 + x3 = 2 x1
ńł ńł - 2x2 = 2
�ł �ł2x - 4x2 = 1
2x1 + 3x2 - x3 = 1
�ł �ł
1
c) , d)
�ł �łx - 5x2 = -3 .
x2 - 5x3 = -3
1
�ł �ł
�łx1 + 2x2 - 4x3 = -1 �łx1 - 4x2 = -1
ół ół
3. Odczytaj wprost rozwiązania układu równań liniowych z niewiadomymi x, y, z, s, t.
0
�ł - 1 0 0 1 3
łł
�ł- 2 0 1 1 0 5
łł
�ł0 6 0 1 0 2śł
�ł
�ł śł
a) 1 1 - 1 0 0 2śł , b) .
�ł śł
�ł1 1 0 0 0 1śł
�ł 3 0 2 0 1 3śł
�ł �ł �ł0 2 1 0 0 0śł
�ł �ł
4. Rozwiąż układ równań.
x
ńł - y - 2z + 2t = -2
2x + 4 y + 7z - 4t = -6
ńł
�ł3x - 2 y + 2z - 2t = -4
�ł �ł
a) , b) 3x + 6y + 7z + t = 5 ,
�ł �ł
5x - 3y - z + t = 3
�ł �ł
x + 2y + 3z - t = -1
ół
�ł
2x + y - z + t = 1
ół
2
�ł - 2 1 - 1 1 x1 1
łł �ł łł �ł łł
T
x 2
�ł łł �ł - 1 1 1 1
łł �ł łł �ł łł
�ł1 2 - 1 1 - 2śł �łx śł �ł śł
1
2
�ł śł �ł- �ł1śł �ł2śł
�ł śł �ł śł �ł śł
c) = , d) y 4 -12 1śł = .
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł4 - 10 5 - 5 7 śł �łx3 śł �ł 1 śł
�ł zśł �ł 3 3 1śł �ł1śł �ł3śł
�ł2 - 14 7 - 7 11 śł �łx śł �ł- 1śł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł 4 �ł �ł �ł
4