1. Wstęp
Ćwiczenie polegało na dokonaniu 8 i 32 pomiarów średnicy otrzymanego walca za
pomocą suwmiarki oraz śruby mikrometrycznej. W dalszej części dwiczenia wykonywaliśmy
także 8 pomiarów wysokości tego samego walca za pomocą suwmiarki.
Następnie skorzystaliśmy z dwóch arkuszy kalkulacyjnych. Pierwszy z nich, po
wprowadzeniu wyników, dokonał obliczeo średniej arytmetycznej, odchylenia
standardowego pojedynczego pomiaru oraz odchylenia standardowego średniej
arytmetycznej.
Kolejny arkusz pozwolił nam na dokładną ocenę błędów wyników pomiarów. Dla różnych
poziomów istotności zostały wyliczone przedziały ufności. Wyniki dołączone na wydrukach
do sprawozdania.
2. Podstawa teoretyczna
Ponieważ błędy przypadkowe w naszych pomiarach są losowe, możemy stwierdzid, że
mają rozkład normalny Gaussa. Możemy więc zilustrowad to na wykresie:
Gdzie:
·ð Poziomem ufnoÅ›ci nazywamy prawdopodobieostwo, z jakim szukamy granic
przedziału obejmującego wartośd mierzoną x
·ð PrzedziaÅ‚em ufnoÅ›ci nazywamy zakres wartoÅ›ci mierzonej x, w którym wyniki mieÅ›ci
się z określonym poziomem ufności (prawdopodobieostwem)
·ð Poziomem istotnoÅ›ci nazywamy prawdopodobieostwo wystÄ…pienia wyniku poza
przedziałem ufności
1
Ponadto, dokonując oceny błędów wyników pomiarów wykorzystujemy dwie, poznane na
zajęciach metody.
2.1 Metoda t- studenta
Korzystamy z niej w sytuacji, gdy dysponujemy mniejszą liczbą pomiarów. Przyjmujemy tutaj
liczbę pomiarów mniejszą niż 30. Metoda opiera się na statystyce t rozkładu t- Studenta.
Wartośd statystyk t zależy od dwóch czynników  liczby stopni swobody k = n -1 (gdzie n to
ilośd pomiarów) oraz od poziomu ufności 1  ą. Wartośd t odczytujemy z tablic.
Przedziały ufności wyznaczamy jako iloczyn t oraz odchylenia standardowego:
x ąts, wielkośd pojedynczego błędu "x = ts
Analogiczne obliczenia wykonuje się dla wartości średniej.
2.2 Metoda 3 - sigmowa
Wykorzystywana dla ilości pomiarów przekraczającej 30. Przy liczbie pomiarów bliskiej 30
obydwie metody mają zbliżone wyniki. W tej metodzie przyjmujemy stały poziom ufności o
wartości 0,9973.
Wyliczenie przedziałów ufności wygląda więc następująco:
x ą3s, a wielkośd błędu "x = 3s
Gdzie s to odchylenie standardowe. Analogiczne obliczenia wykonuje się dla przedziału
ufności wartości średniej.
3. Obliczenie objętości walca oraz błędu pośredniego objętości walca
Dla liczby pomiarów równej 8 oraz poziomu istotności ą = 0,05:
Wartośd średnia średnicy walca d = 15,0375 ą 0,08[mm]
Wartośd średnia wysokości walca h = 20,2125 ą 0,28 [mm]
2
pðd h 3,14 ×ð15,03752 ×ð 20,2125
V =ð =ð ð 3587,905[ðmm3]ð
4 4
Obliczenie błędu pośredniego:
Wartośd średnia średnicy walca d = 15,0375 ą 0,08*mm+
Błąd pomiaru wartości średniej średnicy walca "d = ą 0,08[mm]
2
Wartośd średnia wysokości walca h = 20,2125 ą 0,28 *mm+
Błąd pomiaru wartości średniej wysokości walca "h = ą 0,28 [mm]
2
Å›ðV Å›ðV pð d pð d ×ðh
DðV =ð Ä…ð ( ×ðDðh)2 +ð ( ×ðDðd)2 =ð Ä…ð ( ×ðDðh)2 +ð ( ×ðDðd)2 =ð
Å›ð h Å›ð d 4 2
3,14 ×ð15,03752 3,14 ×ð15,0375 ×ð 20,2125
=ð Ä…ð ( ×ð 0,28)2 +ð ( ×ð 0,08)2 =ð Ä…ð 62,67152 [mm3 ]
4 2
Objętośd naszego walca wynosi więc: V = 3587,905 ą 62,67152 [mm3]
Ponieważ analizę wyników pomiarów wysokości przeprowadzaliśmy jedynie na
poziomie istotności ą = 0,05, nie wykonujemy drugich obliczeo objętości walca dla poziomu
istotności ą = 0,001.
4. Wnioski
Dokładnośd narzędzia a wynik pomiaru
Niedokładności pomiarowe narzędzi, którymi dokonywaliśmy pomiarów, wynosiły
odpowiednio:
·ð dla suwmiarki " = Ä… 0,05 *mm+,
·ð dla Å›ruby mikrometrycznej " = Ä… 0,01 *mm+.
Analizując wyniki dla obydwu narzędzi można łatwo stwierdzid, iż pomiar śrubą
mikrometryczną jest dużo bardziej dokładny. Wynika to przede wszystkim ze specyfikacji
tego urządzenia. Oczywiście pewną rolę odgrywał tu także czynnik ludzki. W dwiczeniu nie
stwierdzono błędów grubych i systematycznych.
Wpływ ilości pomiarów na wynik
Możliwośd skorzystania z metody 3 sigmowej znacznie polepsza ocenę błędów. Żeby jednak z
niej skorzystad, niezbędna jest odpowiednia ilośd pomiarów. Dodatkowa ilośd pomiarów
zawsze potwierdzi nasze przypuszczenia co do wyniku. Błędy, zarówno dla suwmiarki jak i dla
śruby mikrometrycznej, w przypadku większej ilości pomiarów są mniejsze.
Wpływ poziomu istotności na wynik
Dla obydwu przyrządów można zauważyd następującą zależnośd:
Im mniejszy poziom istotności, tym większy poziom ufności, a co za tym idzie większy błąd
pomiarów.
3