8416072478

2. Jeśli x £ P, to p(x,P) = inf_9€p ||rc — q\\ = r > 0, gdyż P jest skończonego wymiaru. Niech Q = P n {q G P |    \\q — a;|| < r + e}, gdzie

e > 0 jest ustaloną liczbą. Wtedy Q jest zbiorem zwartym (dlaczego?). Połóżmy f(q) = \\q — x|| dla q G Q; funkcja / jest ciągła i jest określona na zbiorze zwartym Q, a więc na Q osiąga swój kres dolny. To znaczy, że istnieje p G Q spełniające warunek ||p — x\\ = f(p) = inf_q£Q f(q). To oznacza, że p jest elementem najlepszej aproksymacji dla x. □

W sytuacji, o której mówi Twierdzenie 1.1, element najlepszej aproksymacji dla x G X może być jedyny lub nie, w zależności od własności normy || • ||.

Przykład

Niech X = R² = {(£,,&) | 6,6 e R}; P = {(6,6)1 6 = 0}, x = (0,1).

1.    Jeśli w przestrzeni X przyjmiemy normę euklidesową, ||t/|| = \J(£* + £|) dla y = (^1,^2), to jedynym elementem najlepszej aproksymacji dla x będzie p = (1,0).

2.    Jeśli zaś normę określimy tak: ||?/|| = max{|£i|, |^21}, to zbiorem wszystkich elementów najlepszej aproksymacji dla x w P będzie odcinek otwarty ((-1,0), (1,0)).

3.    Jeśli (na przykład przy definicji normy z punktu 1.), jako zbiór P przyjmiemy

p = {Ri,6) I 6<i},

to okaże się, że w P nie ma elementu najlepszej aproksymacji

dla x. (Dlaczego?).□

Obiektami, które najczęściej musimy aproksymować są funkcje. Chodzi nam zwykle o to, abyśmy mogli zastąpić funkcję bardzo skomplikowaną lub

taką, o której wiemy zbyt mało

przez inną funkcję, z którą łatwo potrafimy sobie radzić. Takimi stosunkowo łatwymi funkcjami są, na przykład, wielomiany. Ich wartości potrafimy łatwo obliczać (patrz - ćwiczenia: schemat Homera).

2