9773562924

Powyższe twierdzenie można istotnie wzmocnię. Wzory, które próbowaliśmy uogolnic, definiują na R" strukturę pierścienia z 1. Okazuje się, że gdyby żądanie dwuliniowośći funkcji z* zastąpić tylko ich ciągłością oraz istnieniem jedynki, to także nie wyjdziemy poza znane wymiary 1, 2, 4 i 8. Zauważmy bowiem, że z formy badanych formuł wynika, że jeśli ||x|| = ||y|| = 1, to także ||z|| = 1, gdzie ||.|| jest normą euklidesową w Rⁿ. Wobec tego, gdy w przestrzeni Rⁿ istnieją poszukiwane wzory z ciągłymi funkcjami z, oraz z jedynką, to sfera Sⁿ~ⁱ jest //-przestrzenią.

(2.15)    Definicja. Przestrzeń topologiczna X, wyposażona w przekształcenie ciągłe fi:X x X —> X jest //-przestrzenią, jeśli istnieje punkt xo € X taki, że fi(x,xo) = h(xq,x) = x dla dowolnego punktu x € X.

(2.16)    Twierdzenie. (Frank Adams, 1958) Wśród sfer, //-przestrzeniami są tylko S¹, S³ oraz S⁷. □ ZADANIE. Wykazać, że w przestrzeni R²ⁿ⁺¹ nie istnieje struktura R-dwuliniowego mnożenia z 1.

7