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Dans la theorie de la soustraction, les lois associatives sui-vantes jouent un role primordial:

48    (T). Si n — p existe, le nombre (nt -f- n) — p existe aussi et est egal a nt-f-(n— p).

49    (7"). Si un de nombres nt — (tt-f-p) et (nt — n) — p existe, 1’autre existe aussi et on a: nt — (it —p) = (nt — n) — p.

50    (T). Si les nombres m—n et u — p existent, le nombre itt—(n — p) existe aussi et on a: nt — (tt — p) = (nt — n) -f* p.

Le th. 48 constitue un complement essentiel du th. *119* 45

des „Principia Matfrematica".

De plus, en s’appuyant, entre autres, sur les th. 39 et 40, M. Tars ki a demontre que

51    (T). Si A* =ł= 0 et l’un de nombres nt — tt et k. nt — k.w existe, 1’autre existe aussi et A:- (nt — n) = jt.m — Ar.it.

En generał, sans l’axiome du choix, il n’est pas possible de conclure de 1’inegalite nt < it que la difference n — m existe (cf. th. 82, i4₃). Cependant, on peut etablir les propositions:

52    (T). Si, nt n’etant pas transfini, on a: nt^tt, alors n — nt existe; et si tt = 2. n, on y a: tt = n — nt.

53 (7"). Si n est un aleph et m < a, alors n = a — tu.

54 (7'). Si it = it², ni<it et de plus: (a) u non-ś^.* nt, ou bien: (b) 2^m<2ⁿ, ou bien: (c) nt est un aleph, — alors n = n — tu*

55    (7"). La difference 2^m — nt existe pour tous les nombres cardinaux nt (et Ton a: nt < 2^m — nt, a moins que nt>2).

56    (T). Lorsquent est transfini,on a: 2^m = 2^m — nt (= 2^,M —|— nt)¹).

Dans la theorie generale des ensembles, on en tirera la

consequence suivante:

57    (T). N etant la classe de tous les sous-ensembles d^łun ensemble transfini MetP— une sous-classe de N de puissance egale a celle de M, on aN^N — P.

On peut considerer le th. 57 comme une formę plus forte du fameux theoreme de C a n t o r (sur la puissance de la classe de tous les sous-ensembles de M) qui ne donnait que la these:

N — P =t= 0.

Dans le domaine de la multiplication, les resultats a obtenir sans l’axiome du choix sont tres peu nombreux. Les tentatives

0 Ce resultat (avec les th. 4, 6. 58, sur lesquels il s’appuie) a ete presente par M. Tars ki a la Seance du. 23.X. 1925 de la Soc. Pol. de Math. (Section de Varsovie). Cf. Ann. Soc. Pol. Math. V, 1926.