Chwilowe natÄ™\
enie ruchu x
t
1
2
3
Podstawy teorii ruchu
C
xt
telefonicznego
t
Miarą ilościową ruchu telefonicznego
nazywanÄ… chwilowym natÄ™\
eniem
ruchu w dowolnej chwili  t jest ilość
jednocześnie trwających połączeń  xt .
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 1 Systemy Komutacji 2
Stanisław Stoch
A
adunek ruchu  przykład A
adunek ruchu Q
Q = 1poł " 5min
1
5min 2
3
Q = 5poł " 1min
L
C
1min
Q = " xi" "
" "ti
" "
" "
i = 1
Q = 5 PM [PM] = połączeniominuta xt
4min
"t1 "t2 & "ti & "tL
t
xt 1min 3min
Q = 2poł " 1min + 1poł " 3min
2
1
0
t
L
Q = x1" " + x2" " + ... + xL" " = " xi" "
"t1 "t2 "tL " "ti
" " " " "
" " " " "
i = 1
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 3 Systemy Komutacji 4
Stanisław Stoch
A
adunek ruchu Q A
adunek ruchu Q
1 1
2 2
3 3
L L
C C
Q = " xi" " Q = " xi" "
" "ti " "ti
" " " "
" " " "
i = 1 i = 1
xt xt
M M
Q
Q = " xj " "t Q = " xj " "t
" " " "
" " " "
" " " "
"t "t "t "t "t "t "t "t "t dt dt dt dt dt dt dt dt dt
j = 1 j = 1
t t
T
T
Q = +" xt dt
+"
+"
+"
0
Ilustracją wielkości ładunku ruchu jest pole pod
wykresem chwilowego natÄ™\
enia ruchu  xt .
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 5 Systemy Komutacji 6
Stanisław Stoch
1
" " "
" " "
" " "
" " "
poł
Ä…
czenia
poł
Ä…
czenia
poł
Ä…
czenia
poł
Ä…
czenia
Åšrednie natÄ™\
enie ruchu A  definicja Jednostka natÄ™\
enia ruchu
JednostkÄ… natÄ™\
enia ruchu  A jest 1 erlang.
1
2
3
Q = A " T
Interpretacja wartości du\
ych:
A = 10 erl oznacza, \
e w ka\
dej chwili (średnio),
Q
C trwa 10 połączeń jednocześnie (zajętych jest 10 łączy)
A =
T
xt Interpretacja wartości małych (ułamkowych):
A = 0,1 erl oznacza, \
e prawdopodobieństwo
A
T
1 Q
istnienia jednego połączenia (zajętości jakiegokolwiek
A = +" xt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
t
T 0 Å‚Ä…cza w wiÄ…zce) w dowolnej chwili wynosi 0,1
T
L
x1" "t1 + x2" "t2 + ... + xL" "tL 1
1erl = 1poł - ale tylko dla połączeń jednoczesnych
A = = " xi" "ti
T T i = 1
W USA: CCS (hundred call seconds per hour)
x1 + x2 + x3 + ... + xL
A = tylko dla równych "t, gdzie: T = L " "t
1 erl = 36 CCS
L
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 8 Systemy Komutacji 9
Stanisław Stoch
Jednostki Å‚adunku ruchu Q Dobowe zmiany ruchu
Jednostki Å‚adunku ruchu Q: Sytuacja charakterystyczna dla Polski.
liczba
PM = połączeniominuta
zajętych
Q [PM] = A [erl] " T [min]
zasobów
erlango-godzina
1 erl " 1 h = 1 erl " 60 min = 60 PM
W USA:
pcm (paid call minutes) = 1PM (rozmowy)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0
godziny doby
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 10 Systemy Komutacji 11
Stanisław Stoch
GNR Tygodniowe zmiany ruchu
Ruch pomiędzy 10:00 a 11:00
Godzina Największego Ruchu jest to taki
okres czterech kolejnych kwadransów
w czasie całodobowych obserwacji, w którym
średnie natę\
enie ruchu telefonicznego jest
większe od średniego natę\
enia ruchu
telefonicznego dla dowolnego innego okresu
czterech kolejnych kwadransów danej
całodobowej obserwacji.
Pon Wt Åšr Czw Pt Sob N
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 12 Systemy Komutacji 13
Stanisław Stoch
2
" " "
poł
Ä…
czenia
Sezonowe zmiany ruchu DÅ‚ugoterminowe zmiany ruchu
Zmiany długoterminowe wią\
Ä… siÄ™ zwykle
ze stopniowym wzrostem natÄ™\
enia ruchu
i są spowodowane stale zwiększającym się
zapotrzebowaniem na usługi
telekomunikacyjne.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 MiesiÄ…c
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 14 Systemy Komutacji 15
Stanisław Stoch
Średni czas trwania połączenia h Połączenia przekraczające granice T
(np.biling)
1 1
q1=1" h1 1
2 2 2
3 3
q2=1" h2 3
C C
qC=1" hC C
Q xt
xt
h
A
t
T T T
Q = C " h
dt dt dt dt dt dt dt dt dt
t
Nie rozdzielamy czasu trwania połączenia na części.
T
Q = A " T
Połączenia zliczamy w poszczególnych okresach
A " T = C " h obserwacji T tak, by zostały policzone tylko raz.
Przykład jednostek:
Najczęściej przydzielamy je do okresu, w którym
10 erl " 1 h = 10 erl " 60 min = 600 PM = 200 poł " 3 min
nastąpiło rozpoczęcie połączenia (zliczanie  wywołań ).
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 17 Systemy Komutacji 18
Stanisław Stoch
Średnia intensywność połączeń (wywołań) Natę\
enie ruchu w Å‚Ä…czu abonenckim
C C
 
A " T = C " h A = " h =  " h A = " h =  " h
 
 
T T
C
 H" 2 poł/h h H" 2,4 min dla poł. miejscowych
 = [ poł / h ]



T
 H" 0,1 poł/h h H" 3,8 min dla poł. międzymiastowych
"  jest podstawowÄ… miarÄ… obciÄ…\
enia układów



 H" 0,1 poł/h h H" 3,2 min dla poł. ze stanowiskami
sterujących (czas zestawiania połączenia nie
specjalnymi (9xxx)
zale\
y od czasu trwania całego połączenia)
" BHCA (Busy Hour Call Attempts) -
A = A1 + A2 + A3 = 2 " 2,4 + 0,1 " 3,8 + 0,1 " 3,2 H"
maksymalna dopuszczalna wartość 



H" 6 (poł/h) " min = 6 (poł / 60min) " min = 0,1 erl
" A jest podstawowÄ… miarÄ… obciÄ…\
enia Å‚Ä…czy
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 19 Systemy Komutacji 20
Stanisław Stoch
3
" " "
" " "
" " "
" " "
poł
Ä…
czenia
poł
Ä…
czenia
poł
Ä…
czenia
Zadanie 1. Zadanie 2.
Grupa abonentów w ciągu T = 2h W wiązce łączy zaobserwowano średnio
zrealizowała C = 400 poł. A = 20 łączy zajętych. W ciągu T = 1h
o średnim czasie trwania h = 3 min. zliczono C = 600 poł. Jaki jest średni czas
Jakie jest średnie natę\
enie ruchu A dla tej trwania połączenia h = ?
grupy abonentów ?
A " T = C " h
A " T = C " h
CÅ"h 400Å"3
A = = = 600
y
LE
T 2
A Å"T 20erlÅ"1h 20poÅ‚ Å"60min
CÅ"h 400poÅ‚ Å"3min 400poÅ‚ Å"3min
h = = = = 2min
A = = = = 10erl
C 600poł 600poł
T 2h 120min
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 21 Systemy Komutacji 22
Stanisław Stoch
Czas zajętości łącza
Åšredni czas zajÄ™toÅ›ci Å‚Ä…cza Ä
Ä
Ä
Ä
1 1 1
q1=1" Ä1 1
Ä
Ä
Ä
2 2 2 2
q2=1" Ä2
Ä
Ä
Ä
N N N N
qN=1" ÄN
Ä
Ä
Ä
Q
Äi
Ä
Ä
Ä
xt xt
Ä
Ä
Ä
Ä
A A
Q = N " Ä
Ä
Ä
Ä
dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
t t
T T
Q = A " T Q = A " T
A " T = N " Ä
Ä
Ä
Ä
Przykład jednostek:
10 erl " 1 h = 10 erl " 60 min = 600 PM = 20 Å‚Ä…czy " 30 min
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 24 Systemy Komutacji 25
Stanisław Stoch
ObciÄ…\
enie (stopień wykorzystania) łącza
Ä
A
a = = ( 0 d" a d" 1 )
N T
Interpretacje  a :
Ä [min]
Ä
Ä
Ä
a [%] = - (średnio) przez jaką część czasu
T [min]
jest zajęte jedno łącze
pusty
A [erl]
a [%] = - (średnio) jaka część wszystkich
N [=Amax]
łączy jest równocześnie zajęta,
czyli prawdopodobieństwo
zajętości jednego łącza
A [erl]
a [erl] = - (średnie) natę\
enie ruchu
N [bezwym]
w jednym Å‚Ä…czu
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 26
4
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
Å‚
Ä…
cza
Å‚
Ä…
cza
Å‚
Ä…
cza
Å‚
Ä…
cza
System masowej obsługi
Azał wiązka Azał
Aof
Å‚Ä…czy
Podstawy teorii ruchu
telefonicznego Astr
( część II )
Aof - ruch oferowany
Azał - ruch załatwiony
Astr - ruch stracony
Aof = Astr + Azał
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 28 Systemy Komutacji 29
Stanisław Stoch
B  współczynnik strat E  współczynnik natłoku (wsp. blokady)
Wywołania są tracone, gdy wszystkie łącza są
Miarą jakości obsługi jest współczynnik strat
zajęte  występuje natłok. Miarą jakości obsługi
(call congestion).
jest współczynnik natłoku (time congestion).
Astr ilość wywołań straconych
xt
B = =
Aof ilość wywołań oferowanych
liczba Å‚Ä…czy N
(0 d" B d" 1)
d" d"
d" d"
d" d"
t
natłok natłok
czas obserwacji
Poniewa\
praktyczny pomiar Astr jest
w wielu przypadkach trudny, wprowadzono
czas natłoku
d" d"
E = (0 d" E d" 1)
d" d"
d" d"
innÄ… miarÄ™ przedstawionÄ… poni\
ej.
czas obserwacji
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 30 Systemy Komutacji 31
Stanisław Stoch
Porównanie B i E Porównanie B i E (c.d.)
xt xt
liczba Å‚Ä…czy N liczba Å‚Ä…czy N
t t
WYWOA
ANIA WYWOA
ANIA



natłok natłok natłok natłok
czas obserwacji czas obserwacji
Je\
eli wywołania nie są niezale\
ne (strumień inny ni\

Je\
eli wywołania pojawiają się niezale\
nie (strumień
Poissona), w czasie natłoku mo\
e ich być więcej (jak
Poissona) ich rozkład w czasie jest niezale\
ny od
na rysunku) lub mniej. Stosunek liczby tych straconych
występowania natłoku. Część wywołań trafiająca na
wywołań do wszystkich wywołań nie jest wtedy równy
natłok jest więc proporcjonalna do czasu natłoku:
stosunkowi czasu natłoku do czasu obserwacji:
B = E
B `" E (na rysunku B > E)
`"
`"
`"
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 32 Systemy Komutacji 33
Stanisław Stoch
5
Zało\
enia teorii Erlanga Zało\
enia teorii Erlanga (c.d.)
" RUCH OFEROWANY: Wywołania pojawiają " RUCH STRACONY: Wywołania pojawiające
siÄ™ przypadkowo (niezale\
nie od siebie i od się w czasie zajętości wszystkich łączy są
sposobu ich obsługi) i prawdopodobieństwo tracone (tzn. nie pojawiają się ponownie na
ich pojawiania się jest jednakowe (rozkład wejściu).
Poissona).
" STACJONARNOŚĆ: Osiągnięta została
" RUCH ZAA
ATWIANY: Ruch jest załatwiany
statystyczna równowaga ruchu
przez ograniczoną liczbę łączy całkowicie
telefonicznego.
dostępnych dla z
ródeł ruchu.
" GNR: Okresem obserwacji stanowiÄ…cym
Czasy obsługi (czasy połączeń) mają rozkład
podstawę do obliczeń jest Godzina
o wartości średniej  h (dla telefonii  ujemny
Największego Ruchu.
wykładniczy, a dla transmisji danych  stały).
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 34 Systemy Komutacji 35
Stanisław Stoch
Diagram równowagi (stacjonarność) Diagram równowagi (stacjonarność)
Strony monet: 0  orzeł, 1  reszka (1zł) Strony monet: 0  orzeł, 1  reszka (1zł)
Stan dla dwóch monet = suma punktów Stan dla dwóch monet = suma punktów
Odwracamy losowo wybranÄ… monetÄ™. Rzucamy losowo wybranÄ… monetÄ….
1 0,5 0,5 0,25
0 1 2 0 1 2
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
lub lub
odwrotnie odwrotnie
0,5 1 0,25 0,5
p(0)" 1 = p(1)" 0,5 p(1)" 0,5 = p(2)" 1 p(0)" 0,5 = p(1)" 0,25 p(1)" 0,25 = p(2)" 0,5
2 2
RozwiÄ…zanie: p(1) = 1/2 RozwiÄ…zanie: p(1) = 1/2
p(x) = 1 p(x) = 1
" "
p(0) = p(2) = 1/4 p(0) = p(2) = 1/4
x=0 x=0
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 36 Systemy Komutacji 37
Stanisław Stoch
Wyprowadzenie wzoru Erlanga Wyprowadzenie wzoru Erlanga (c.d.)
Prawdopodobieństwo zakończenia jednego
0 1 2 " " " x x+1 " " " N
"t
wskazanego połączenia w  "t wynosi:
h
Je\
eli w czasie obserwacji  T zaobserwowano
"t
h
 C połączeń, to prawdopodobieństwo
Je\
eli w danej chwili istnieje  x+1 połączeń, to
rozpoczęcia w czasie  "t nowego połączenia
prawdopodobieństwo zakończenia się jednego
C
"t "t
z nich wynosi: (x +1)
wynosi: C
"t
h
T
T
Prawdopodobieństwo przejścia z  x+1 do  x
Prawdopodobieństwo przejścia z  x do  x+1
"t
"t
wynosi:
p(x +1)Å"(x +1)
wynosi:
p(x)Å"C
h
T
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 38 Systemy Komutacji 39
Stanisław Stoch
6
Rozkład Erlanga Sprawdzenie rozwiązania
Warunek równowagi statystycznej:
A Å" p( x ) = p( x +1)Å"( x +1)
"t "t
p(x) Å"C = p(x +1) Å"(x +1)
Ax Ax+1
T h
( x +1)!
x!
h
A Å" = Å"( x +1)
PodstawiajÄ…c otrzymujemy: N
C = A
Ai N Ai
T
" "
i! i!
A Å" p(x) = p(x +1)Å"(x +1) i =0 i =0
N
Ax
Ax Ax Å" A
"p(x) = 1
A Å" = Å"( x +1)
x!
x=0
RozwiÄ…zanie: p(x) =
x! x!Å"( x +1)
N
Ai
"
c.b.d.o.
i!
i =0
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 40 Systemy Komutacji 41
Stanisław Stoch
Wzór Erlanga Tablica wzoru Erlanga  układ tradycyjny
E(A,N) N
N
W chwili natłoku wszystkie łącza są zajęte, A 1 2 3 4 5 10 15 30 60 120 240 480 960
0,01 ,0099
czyli x = N , stąd współczynnik natłoku E jest 0,02 ,0196 ,0002
0,04 ,0385 ,0008
równy prawdopodobieństwu wystąpienia 0,06 ,0566 ,0017
0,08 ,0741 ,0030 ,0001
0,1 ,0909 ,0045 ,0002
natłoku p(N) w danej chwili:
0,2 ,1667 ,0164 ,0011 ,0001
0,4 ,2857 ,0541 ,0072 ,0007 ,0001
0,6 ,3750 ,1011 ,0198 ,0030 ,0004
0,8 ,4444 ,1509 ,0387 ,0077 ,0012
AN
1 ,5000 ,2000 ,0625 ,0154 ,0031
2 ,6667 ,4000 ,2105 ,0952 ,0367
A 3 ,7500 ,5294 ,3462 ,2061 ,1101 ,0008
EN( A)
4 ,8000 ,6154 ,4507 ,3107 ,1991 ,0053
N!
5 ,8333 ,6757 ,5297 ,3983 ,2849 ,0184 ,0002
EN( A) = E1,N( A) =
10 ,9091 ,8197 ,7321 ,6467 ,5640 ,2146 ,0365
N
15 ,9375 ,8755 ,8140 ,7532 ,6932 ,4103 ,1803 ,0002
Ai
30 ,9677 ,9356 ,9034 ,8714 ,8394 ,6813 ,5272 ,1325
60 ,9836 ,9672 ,9508 ,9345 ,9181 ,8365 ,7553 ,5149 ,0963
120 ,9917 ,9835 ,9752 ,9669 ,9587 ,9174 ,8762 ,7527 ,5078 ,0694
"
pierwszy wzór Erlanga
240 ,9959 ,9917 ,9876 ,9834 ,9793 ,9585 ,9378 ,8756 ,7514 ,5040 ,0498
i! 480 ,9979 ,9958 ,9938 ,9917 ,9896 ,9792 ,9688 ,9376 ,8753 ,7507 ,5020 ,0355
i =0
wzór B-Erlanga
960 ,9990 ,9979 ,9969 ,9958 ,9948 ,9896 ,9844 ,9688 ,9376 ,8751 ,7503 ,5010 ,0253
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 42 Systemy Komutacji 43
Stanisław Stoch
Tablica wzoru Erlanga  układ odwrócony Zestawienie pojęć
E 0,5 % 0,6 % 0,7 % 0,8 % 0,9 % 1 % 2 % 3 % 4 % 5 %
E
N 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Azał wiązka Azał
A
1 ,00503 ,00604 ,00705 ,00806 ,00908 ,01010 ,02041 ,03093 ,04167 ,05263
2 ,10540 ,11608 ,12600 ,13532 ,14416 ,15259 ,22347 ,28155 ,33333 ,38132
N Å‚Ä…czy
3 ,34900 ,37395 ,39664 ,41757 ,43711 ,45549 ,60221 ,71513 ,81202 ,89940
4 ,70120 ,74124 ,77729 ,81029 ,84085 ,86942 1,0923 1,2589 1,3994 1,5246
5 1,1320 1,1870 1,2362 1,2810 1,3223 1,3608 1,6571 1,8752 2,0573 2,2185
Astr
6 1,6218 1,6912 1,7531 1,8093 1,8610 1,9090 2,2759 2,5431 2,7649 2,9603
7 2,1575 2,2408 2,3149 2,3820 2,4437 2,5009 2,9354 3,2497 3,5095 3,7378
8 2,7299 2,8266 2,9125 2,9902 3,0615 3,1276 3,6271 3,9865 4,2830 4,5430
9 3,3326 3,4422 3,5395 3,6274 3,7080 3,7825 4,3447 4,7479 5,0796 5,3702
A = Astr + Azał
10 3,9607 4,0829 4,1911 4,2889 4,3784 4,4612 5,0840 5,5294 5,8954 6,2157
N
11 4,6104 4,7447 4,8637 4,9709 5,0691 5,1599 5,8415 6,3280 6,7272 7,0764
12 5,2789 5,4250 5,5543 5,6708 5,7774 5,8760 6,6147 7,1410 7,5727 7,9501
13 5,9638 6,1214 6,2607 6,3863 6,5011 6,6072 7,4015 7,9667 8,4300 8,8349
14 6,6632 6,8320 6,9811 7,1154 7,2382 7,3517 8,2003 8,8035 9,2977 9,7295
15 7,3755 7,5552 7,7139 7,8568 7,9874 8,1080 9,0096 9,6500 10,174 10,633
Astr Azał
16 8,0995 8,2898 8,4579 8,6092 8,7474 8,8750 9,8284 10,505 11,059 11,544
EN( A) = B = a =
17 8,8340 9,0347 9,2119 9,3714 9,5171 9,6516 10,656 11,368 11,952 12,461
18 9,5780 9,7889 9,9751 10,143 10,296 10,437 11,491 12,238 12,850 13,385
A N
19 10,331 10,552 10,747 10,922 11,082 11,230 12,333 13,115 13,755 14,315
A
20 11,092 11,322 11,526 11,709 11,876 12,031 13,182 13,997 14,665 15,249
Stanisław Stoch Systemy Komutacji 44 Systemy Komutacji 45
Stanisław Stoch
7