365605312

bardzo blisko najbardziej zawiłego. Raczej banalne jest to ,że dla n > 2 , n! -1 nie jest idealnym kwadratem. A co można powiedzieć o n!+l? Cóż, 4!+l = 5², 5!+l = 11² a 7!+l = 71². Jednak żadne inne przypadki nie są znane; ani nie wiadomo czy dowolna inna liczba n!+l jest idealnym kwadratem. Wrócimy do tego problemu przy równaniach diofantycznych. Po Euklidesie, kolejny znaczny postę w teorii rozkładu liczb pierwszych dokonał Euler.

Udowdnił ,że ^ - jest rozbieżny i opisał ten wynik przez powiedzenie ,że liczb pierwszych jest więcej niż kwadratów .Chcę teraz przedstawić nowy dowód tego faktu - dowód , który w jakiś sposób jest powiązany z dowodem Euklidesa na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych. Potrzebujemy najpierw (dobrze znanego) lematu w odniesieniu do podszeregu szeregu harmonicznego. Niech pl < p2 < ... będzie sekwencją dodatnich liczb całkowitych i niech ich funkcja zliczająca będzie to

Niech

Lemat: Jeśli R(°o) istnieje wtedy

,    7r(x)

lim —— = 0

Dowód

7r(x) = 1(11(1) - R(0)) + 2((R(2) - R(l)) + ■ • • + x(R(x) - R(x - 1))

lub

Ponieważ R(x) zbliża się do granicy, wyrażenie wewnątrz nawiasów kwadratowych zbliża się do tej granicy i lemat jest udowodniony

W dalszej części zakładamy ,że p są liczbami pierwszymi. Aby udowdnić ,że p jest rozbieżny założymy przeciwieństwo tj y'' I jest zbieżny (a stąd ,że *(*)    ₀ ) i wynika

sprzeczność..

W naszym założeniu istnieje n takie ,że

E

Ale teraz n jest ustalone ak że będzie również n takie ,że