3893820040

IV-12

§3.1.

W przypadku macierzy o dostatecznie regularnej budowie można wykorzystać rozwinięcie Laplace’a do uzyskania rekurencyjnych zależności pomiędzy wyznacznikami macierzy różnych stopni. Rozpatrzymy dwa przykłady.

Przykład 2. Ustalmy ciąg x, ci,C2... elementów F i niech A„ oznacza n x n macierz, której pierwszym wierszem jest xei+Cne_n, drugim —ei +a:e2 + c_n_ie_n, trzecim —e2 + x&z + Cn-2^eni i tak dalej aż do wiersza n-tego, którym jest — e„_i + (x + ci)e„. N.p.:

(	X	0	0	c4 ^
	-1	X	0	C3
	0	-1	X	C2
V	0	0	-1	X + C\ )

W celu obliczenia | A_n| wykorzystamy rozwinięcie wzdłuż pierszego wiersza. Oznaczmy chwilowo A„ przez B. Oczywiście, Bu — A„_i, zaś Bi„ jest macierzą trójkątną mającą wyłącznie wyrazy —1 na przekątnej. Wobec tego

|A„| =X|A^_!| + (-l)“⁺1C„(-l)”“^I — x|A„_i| + Cn.

Stąd przez indukcję nietrudno dowieść, że |A„| = xⁿ+c\x^{n i}+C2X^{n 2} + ...+c_n-\x+c_n. Przykład 3. Wyliczymy wyznacznik Vandermonde’a

V(xq, ...,xn) := det	/ 1 x0 X^2q 1 X\ x\	... xg \ ... x\
	^ 1 xn x\	... x^nn )

W tym celu poczynając od przedostatniej, a kończąc na pierwszej, mnożymy każdą kolumnę przez xq i odejmujemy od następnej. Ponieważ żadna z tych operacji nie zmienia wartości wyznacznika, więc

⁰ \

^X1 ~ ^x\ *o

X™ — x"^_1Xo /

0 0

2

X\ Xq X^ X\Xq X_n — Xq x\ — X_nXo

Rozwińmy ten wyznacznik wzdłuż pierwszego wiersza, a następnie zastosujmy wielokrotnie własność iii) z p.l. Otrzymamy

(X\ Xq (Xj Xq)X\ ... (x₄ Xo)iCj \    n

I = JT(x,—Xo)U(xi, ...,X_T X_n — Xq (x_n — Xo)Xi ... (x_n—Xo)x„~¹/    i= 1

Stąd przez łatwą indukcję V(xq, ...,x_n) = riocicjcnfai ^— xi)- D