4403041422

Matematyka w muzyce - świat muzyki a matematyzacja 111

z angielskiego glas har (szklana harfa), stał się popularny na koncertach muzyki rozrywkowej (zob. [10]).

3. Matematyczna analiza dźwięków

Z powyższych rozważań wynika, że pojedynczy dźwięk można opisać na gruncie matematyki za pomocą sinusoidy o określonej długości okresu T, zwanej w fizyce długością L fali dźwiękowej i określonej amplitudzie A, czyli największej wartości, jaką przyjmuje ta funkcja:

a(t) = A • sin t,

gdzie liczba a(t) jest wartością odchylenia w ruchu drgającym w chwili t, A zaś jest amplitudą. Wykresem tej funkcji a(t) jest krzywa w kształcie sinusoidy.

Matematyczną prezentacją dźwięku jest funkcja zmiennej t (czas) o wartościach liczbowych (odchylenie), a więc funkcja liczbowo-liczbowa. Funkcję liczbowo-liczbową utożsamia się z jej wykresem. Ten wykres staje się zatem matematyczną prezentacją dźwięku. W ten sposób możemy mówić o wykresie dźwięku. Przyjmijmy, że prezentacją dźwięku Sj jest funkcja fj. Chodzi tu o szczególne funkcje (każda musi być okresowa).

Przyporządkowanie, w którym dźwiękowi odpowiada długości L jego fali, jest funkcją różnowartościową, a zatem nie ma dwóch różnych dźwięków o tej samej długości fali. Równoczesne zagranie kilku dźwięków może być miłe dla ucha, albo przypominać chaotyczny szum dźwięków. Postawmy pytanie, czym jest z matematycznego punktu widzenia dźwięk powstały z kompilacji innych dźwięków, czyli z równoczesnego „zagrania tych dźwięków”.

Aby na nie odpowiedzieć, pozostańmy przy instrumentach klawiszowych. Każdy klawisz wywołuje (generuje) odpowiedni dźwięk (każdy klawisz inny dźwięk). Załóżmy, że klawisz kj generuje dźwięk 5j.

Jeśli naciśniemy równocześnie dwa klawisze k\ i /C2, to słyszymy nowy dźwięk. Prezentacją tego nowego dźwięku jest funkcja /i_2, gdzie

fl—2 = fl + /2-

Dźwięk 6\2 generowany przez równoczesne naciśnięcie klawiszy k\ i k^ możemy nazywać sumą dźwięków 5\ i 82. Analogicznie określimy sumę trzech lub więcej dźwięków. Sumę dwóch, trzech lub czterech dźwięków nazywamy akordem.