4403041424

Matematyka w muzyce - świat muzyki a matematyzacja 113

Nie jest tu ważne, że w rachubę wchodzi tu tylko pięć początkowych funkcji tego ciągu. W teorii szeregów funkcyjnych wprowadza się ciąg sum cząstkowych, jako nowy ciąg funkcyjny (s_1? s₂, S3, s₄, s₅,...), gdzie:

51    W = h(t),

52    (t) = /i(t) +

S3W = fi(t) + /j(i) +

Sn (t) = E/jW,

3=1

Nietrudno sprawdzić, że

s„(t) = TT - 2 (sini +    + saiś* ₊ .

sinni) dla

n /

n = 1,2,3,4,....

Wykresy funkcji 5i(t),s₂(t),«3(t) i s₄(£) mamy na rysunku 5 (autor wykonał je w Geogebrze).

(a) Wykres funkcji si(t)

(b) Wykres funkcji S2(t)

(c) Wykres funkcji S3(t)

(d) Wykres funkcji s^t)

Rys. 5. Wykresy funkcji si(t), s₂(t), ss(t) i s₄(£)

Suma funkcji okresowych jest funkcją okresową. Funkcja S5 jest okresowa jako suma pięciu funkcji /1, /₂, /₃, /₄, /₅, z których każda jest okresowa. Wykres funkcji S5, ma kształt, zwany przez fizyków wykresem piłokształtnym, gdyż swym wyglądem przypomina zęby piły.