4403041437

Matematyka w muzyce - świat muzyki a matematyzacja 107

rury w osobliwym kształcie, który widzimy jako sinusoidę. Jest ona wizualizacją, a więc ikoniczną prezentacją fali dźwiękowej wytworzonej przez drgający pręt.

Z punktu widzenia matematyki wizualizacją fali dźwiękowej w tej rurze jest wykres pewnej funkcji. Chodzi o odchylenie drgania jako funkcję czasu.

Wprowadźmy układ współrzędnych tak, by osią odciętych była oś walca, osią rzędnych jest prostopadła doń w dowolnym punkcie. W ten sposób rozpoczynamy fazę matematyzacji.

Posuwając się od lewej strony osi w prawo interesujmy się położeniem cząstek korka względem tej osi (chodzi tylko o kierunek góra-dół). Tak obserwowane cząstki korka tworzą wykres wspomnianej funkcji. Wykres ten ma wyraźnie kształt sinusoidy.

Niech t oznacza punkt na osi odciętych, który traktujemy jako czas. Niech a(t) oznacza odchylenie (w górę lub w dół) cząstki korka od osi w chwili t. Mówimy tu więc o funkcji a(t) określonej wzorem a(t) = ^4-sint, gdzie A jest największym odchyleniem cząstki od osi odciętych. Liczbę A nazywamy amplitudą.

Długość T okresu funkcji a(t) = A • sin t zależy od częstotliwości / drgań pręta, czyli od liczby jego drgnięć, wykonanych w określonej jednostce czasu. Jednostką częstotliwości fali dźwiękowej jest herz. Mówimy, że częstotliwość fali jest równa 1 herz, jeśli czas potrzebny na pokonanie przez cząstkę jednego okresu jest jedną sekundą.

Rys. 1. Rura Kundta do tworzenia fali stojącej (źródło: [8])

korek nieruchomy korek ruchomy

W trakcie opisywanego doświadczenia pojawia się dźwięk wywołany drganiem cząstek powietrza wewnątrz rury, spowodowany drganiem pręta o określonej długości. Cząstki korka są jedynie wizualizacją ruchów (drgań) cząstek powietrza.

Przedmiotem dalszych rozważań jest próba rozstrzygania, jak w zależności od długości drgającego pręta zmienia się wysokość dźwięku. Jeśli przesuniemy punkt uchwytu pręta w imadle, to drgająca część pręta ulegnie wydłużeniu lub skróceniu. Zmieni się wówczas częstotliwość drgań