4403041428

Matematyka w muzyce - świat muzyki a matematyzacja 117

Pitagorejczycy odkryli, że po podzieleniu struny podpórką na dwie równe części, każda z nich wydaje dźwięk brzmiący o oktawę wyżej. Oznacza to, że jeśli dźwiękiem struny bazowej jest c, to dźwięk połowy tej struny jest dźwiękiem c¹.

Niektóre podziały struny bazowej powodują wydanie przez nią dźwięku brzmiącego miło dla ucha w porównaniu z dźwiękiem całej struny. Dla tych podziałów Pitagoras określał ilorazy długości dłuższego odcinka struny do długości całej struny i zauważył, że stosunki tych długości wyrażają się ułamkami, których liczniki i mianowniki są liczbami całkowitymi.

Najładniej współbrzmiące z dźwiękiem podstawowym wydawały się mu podziały: 2 : 3, 3 : 4 i 4 : 5. Są to ułamki postaci gdzie n 6 N,

które nazywamy ułamkami pitagorejskimi.

Pitagoras skojarzył te fakty z bokami pewnych trójkątów prostokątnych. Rozważmy takie trójkąty prostokątne, w których przeciwprosto-kątna i dłuższa przyprostokątna różnią się długością o 1. Są takimi (na przykład) trójkąty o długościach boków:

(3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61), czy (13,84,85).

W przypadku tych trójkątów, ilorazy, o których mowa, są następującymi ułamkami:

4    12    24 40 j

5’ 13’ 25’ 41 ^llU-

To odkrycie upewniło Pitagorasa w przekonaniu, że muzyka jest ściśle powiązana z geometrią.

Pitagoras kojarzył również muzykę z astronomią. Rysunek 9 prezentuje pitagorejską wizję planet w kontekście skali dźwiękowej i głosu ludzkiego.

Złemw W*mts Mitury

Rys. 9. Pitagorejska wizja planet na tle skali dźwiękowej i głosu ludzkiego