5192604468

Będziemy interpretować g(L) jako kapitał (rezerwa), który powinniśmy dodać do pozycji ze stratą L, dzięki czemu pozycja ta będzie mogła być dopuszczona przez kontrolę ryzyka. Pozycja g(L) < 0 jest akceptowana bez tworzenia rezerwy.

Teraz możemy przedstawić aksjomaty dla miary ryzyka g : M —> R na stożku wypukłym !M, które muszą być spełnione, aby g mogło być koherentną miarą ryzyka.

Aksjomat 2.3 (Niezmienniczość na translacje)

VieiM'V/gR g(L +l) = g(L) + l.    (2-1)

Aksjomat 2.4 (Subaddytywność)

^LijLaeaf g(Li + La) < g{Li) + g(L₂).    (2.2)

Aksjomat 2.5 (Dodatnia jednorodność)

Vl6^V_a> o g(XL) = Xe(L).    (2.3)

Aksjomat 2.6 (Monotoniczność)

VL₁,z,₂eaf L\ < L₂ =>■ g(L\) < g(L₂).    (2.4)

Definicja 2.7 (Koherentna miara ryzyka) [8]

Miara ryzyka g, której dziedziną jest stożek wypukły 9rf, nazywana jest koherentną miarą ryzyka jeśli spełnia aksjomaty 2.3.-2.6.

2.2.1 Value at Risk

Jedną z grup miar ryzyka są kwantyle rozkładu stóp zwrotu. Często przytaczana miara z tej grupy to poziom bezpieczeństwa, określony wzorem P(r < r*,) = a, gdzie r-stopa zwrotu, rvpoziom bezpieczeństwa, o-poziom istotności. Z tej koncepcji wywodzi się jedna z najważniejszych i najpopularniejszych miar ryzyka - wartość zagrożona (Value at Risk, VaR). Rozważmy portfel w pewnym przedziale czasowym A. Przez Fl{x) = P(L < x) oznaczamy dystrybuantę zmiennej losowej oznaczającej stratę.

Definicja 2.8 (Value at Risk) [8]

Niech dany będzie poziom istotności a € (0,1). Wartość zagrożona (VaR) naszego portfela na poziomie istotności a jest najmniejszą liczbą x taką, że prawdopodobieństwo osiągnięcia straty L większej niż x jest nie większe niż (1 — a).

VaR_Q = inf{x € R : P(L > x) < 1 — a} = inf{x G R : Fl{x) > a} (2.5)

14