5167288142

nego w nierównoboczny trójkąt ABC. Udowodnić, że Z Al O < 90° wtedy i tylko wtedy, gdy 2BC < AB + AC.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez T punkt przecięcia dwusiecznej kąta BAC z okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Punkt I leży wówczas na boku AT trójkąta AOT i nietrudno zauważyć, że nierówność Al O < 90° jest równoważna temu, że TI < AL Powszechnie wiadomo (lub jest to proste ćwiczenie), że TB = TI = TC. Z Twierdzenia Ptolemeusza wnioskujemy jednocześnie, że

TC ■ AB + TB • AC = AT ■ BC

czyli też

TI • (AB + AC) = (Al + TI) ■ BC.

Dlatego warunek TI < Al równoważny jest warunkowi

TI ■ (AB + AC) > 2TI ■ BC

lub po prostu

AB + AC > 2BC

i dowód jest zakończony.

3. Liczbę naturalną n nazywamy wypasioną, jeżeli dla każdej liczby pierwszej p dzielącej n liczba p² również dzieli n. Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończenie wiele liczb n takich, że n oraz n + 1 są wypasione.

Rozwiązanie Sposób I

Tak, istnieje nieskończenie wiele n takich, że n i n + 1 są wypasione. Zauważmy, że iloczyn dwóch liczb wypasionych jest liczbą wypasioną oraz, że kwadraty liczb naturalnych również są wypasione. Załóżmy więc, że n i n + 1 są wypasione. Wówczas wypasiona jest też liczba 4n(n + 1). Jednocześnie 4n(n + 1) + 1 = 4n² + 4n + 1 = (2n + l)², a więc ta liczba także jest wypasiona. Oznacza to, że mając daną parę kolejnych liczb naturalnych, które są wypasione możemy wygenerować parę większych, gdyż jasne jest, że n < 4n(n +1) . Aby zakończyć rozwiązanie wystarczy zauważyć, iż liczby 8 oraz 9 są wypasione.

20