673060929

jest liczbą (skalarem). W ekonometrii wykorzystywane są często iloczyny skalarne wektorów obserwacji zmiennych objaśnianych i objaśniających. Stąd warto zapamiętać, że iloczyn skalarny a^T • a jest sumą kwadratów elementów wektora.

PRZYKŁAD 1.3. Wylicz iloczyn skalamy wektora a i wektora b, gdzie wektory w postaci wierszowej mają postać a^T = (2, 3, 4) i b^T = (1, 0, 2).

	2		T		1
a =	3	b =	0	a ich iloczyn a^T • b = [2 3 4]	0
	4		2		2

Własności iloczynu skalarnego: a^T • b = b^T ■ a (A.a)^T- b = A. (a^T • b),

(a + b)^T • c = a¹ ■ c + b^T • c

Równie ważna, zwłaszcza w przypadku odwracania macierzy jest niezależność liniowa wektorów. W celu poznania niezależności liniowej wektorów, początkowo wprowadzone zostanie pojęcie kombinacji liniowej.

Niech (a,, a₂,..., a₍) oznacza układ wektorów w przestrzeni wektorowej n-wym i arowej y_n. Wektor a = A^a, + A,₂a₂ + ... + Aj.a_k

nazywamy kombinacją liniową tych wektorów. Kombinacja liniowa jest zatem wektorem, którego elementy są równe sumie odpowiednich elementów wszystkich wektorów wchodzących w skład kombinacji pomnożonych przez liczby A...

Będziemy mówić, że układ wektorów (a, a₂ a_A) nazywamy liniowo zależnym, jeżeli istnieje taki układ liczb A., A.₂ ..., \ nie wszystkich jednocześnie równe zero, że

x>, =o

Dopiero po tym wstępie można zdefiniować wektory liniowo niezależne. Układ wektorów (a, a₂ a_A) nazywamy liniowo niezależnym,

gdy

14