8857686423

Rozdział 1

Wstęp

Rachunek różniczkowy (i całkowy) ułamkowego rzędu (ang. fractional calculus) jest naturalnym rozszerzeniem pojęć całki i różniczki, zawartych w tradycyjnym rachunku różniczkowym (i całkowym) całkowitego rzędu. Rozszerzenie to określa definicję całek i różniczek dla niecałkowitej (ułamkowej) ich krotności (liczby razy, rzędu).

Pierwsza wzmianka o możliwości istnienia różniczki rzędu \ pochodzi z 30 września 1695 roku, z listu Leibnitz’a do L’HospitaFa. W liście tym Leibnitz pisał: (cytat z [130, strona 3]) "Thus it follows that dhx will be equal to xVdx : x, an apparent paradox, from which one day usefull conseąuences will be drawn".

Wzmianka ta stała się motywacją dla przyszłych pokoleń matematyków, takich jak: Liouvil-le, GrUnwald, Letników, Riemann, którzy pod koniec XIX wieku stworzyli podstawy rachunku różniczkowego ułamkowego (niecałkowitego) rzędu [71, 96].

Na początku rozwoju rachunku różniczkowego ułamkowego rzędu był on głównie domeną matematyków. Podstawy tego rachunku można znaleźć w [130] (pierwsza monografia na ten temat, 1974 rok), [90, 119, 128, 162, 188]. Dalsze informacje na jego temat można znaleźć w pracach [53, 65, 68, 78, 98, 99, 163, 167, 179, 184, 218, 221]. W 1974 roku odbyła się także pierwsza konferencja o układach ułamkowego rzędu: "International Conference on Fractional Calculus and Its Applications" [180].

W drugiej połowie XX wieku zaczęto obserwować coraz większe zainteresowanie tym rachunkiem (które trwa po dziś dzień) wśród inżynierów. Zainteresowanie to było spowodowane obserwacjami, że wiele zjawisk można dokładniej wyjaśnić i modelować właśnie przy użyciu rachunku różniczkowego ułamkowego rzędu (wzrost tego zainteresowania był także możliwy wraz z rozwojem techniki komputerowej, który umożliwił analizę i w dużej części implemen-