Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1
II kolokwium, 20 stycznia 2004 II kolokwium, 20 stycznia 2004
Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si kolokwium, Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si kolok-
swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi i nazwisko wium, swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi
wykładowcy (osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi poni sz tabelk . Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi poni sz
nadto prosz ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelk . Ponadto prosz ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
E1 F1
Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napi- Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y na-
a na n-tej kartce pracy. Na rozwi zanie zada przeznaczono 60 minut, za rozwi zanie pisa na n-tej kartce pracy. Na rozwi zanie zada przeznaczono 60 minut, za roz-
ka dego zadania mo na otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie wi zanie ka dego zadania mo na otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y
opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje
przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane wnioski. Ponadto prosz sporz dza twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia ! sz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Uzasadni , e dla ka dego x " R zachodzi nierówno 1. Uzasadni , e dla x e" 0 zachodzi zwi zek
1 - x2
Ä„
-2 arctg x = arcsin .
ex e" ex .
2
1 + x2
Sporz dzi rysunek.
2. Znale wielomian, który na przedziale [-1, 1 ] przybli a funkcj
2. Obliczy ln 1, 02 z dokładno ci do 10-5 .
x
f ( x ) = x e
3. Na osi Ox wyznaczy punkt M tak, aby suma jego odległo ci od
z bł dem nie przekraczaj cym 0, 01.
punktów A = ( 0, 3 ), B = ( 4, 5 ) była mo liwie najmniejsza.
3. Obliczy całk ( x + 1 + x - 1 ) dx .
4. Obliczy , stosuj c dwa ró ne podstawienia, całk
5
5 - 2x
dx
4. Obliczy całk dx .
.
( x2 - 5x + 6 )2
cos x
4
Zadanie dodatkowe. Blaszana misa ma kształt powierzchni obrotowej
Zadanie dodatkowe. Obliczy obj to bryły V powstałej z obrotu
uzyskanej w wyniku obrotu wokół osi Oy krzywej y = 0 dla 0 d" x d" 1,
wokół osi Oy obszaru ograniczonego osi Ox, prostymi
y = x - 1 dla 1 d" x d" 2. Jaka jest pojemno tej misy? Ä„ Ä„
x = , x = oraz wykresem funkcji f ( x ) = cos x2 .
3 2
Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1
II kolokwium, 20 stycznia 2004 II kolokwium, 20 stycznia 2004
Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si kolokwium, Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si kolok-
swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi i nazwisko wium, swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi
wykładowcy (osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi poni sz tabelk . Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi poni sz
nadto prosz ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelk . Ponadto prosz ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
G1 H1
Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napisa Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y na-
na n-tej kartce pracy. Na rozwi zanie zada przeznaczono 60 minut, za rozwi zanie pisa na n-tej kartce pracy. Na rozwi zanie zada przeznaczono 60 minut, za roz-
ka dego zadania mo na otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie wi zanie ka dego zadania mo na otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y
opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje
przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane wnioski. Ponadto prosz sporz dza twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia ! sz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. W oparciu o wzór Maclaurina uzasadni , e
1. Uzasadni , e dla ka dego x > 0 zachodzi nierówno
x x2 x
2 + - < 4 + x < 2 + dla x > 0. sh x > x.
4 64 4
Sporz dzi rysunek.
2. Wyznaczy przedziały wkl sło ci, wypukło ci oraz punkty przegi cia
4
2. Obliczy 16, 4 z dokÅ‚adno ci do 2 Å" 10-4 .
wykresu funkcji
x2 + 2x + 1
f ( x ) = .
3. Obliczy całk
x2 + 2x + 2
6x - 1
dx.
3. Jaki kształt powinna mie cylindryczna puszka do piwa (bezalkoholo-
x2 + 2x + 4
wego) o pojemno ci 0, 5 l, aby ilo blachy potrzebnej do jej wypro-
4. Licz c z definicji całk oznaczon odpowiedniej funkcji znale
dukowania była minimalna?
granic
1 2 n
4. Stosuj c podstawienie t = cos x obliczy całk
lim + + ... + .
n"
12 + 2n2 22 + 2n2 n2 + 2n2
sin3x
dx.
sin2x + 2 cos2x
Zadanie dodatkowe. Obliczy obj to bryły V ograniczonej powierz-
Ä„ 3Ä„
chni powstał przy obrocie krzywej y = ctg x dla d" x d" wokół
6 4
Zadanie dodatkowe. Obliczy pole obszaru D ograniczonego krzywymi
osi Ox. Sporz dzi rysunek.
y = ln x, y = ln2x.