WYKŁAD 6
Przekształcenia liniowe
Jacek Jędrzejewski
2010/2011
Spis treści
1
Izomorfizmy
2
2
Rząd przekształcenia liniowego
4
3
Macierz przekształcenia liniowego
5
1
Izomorfizmy
Możemy udowodnić nieco więcej o izomorfizmach.
Twierdzenie 1 Jeżeli A : V −→ W jest izomorfizmem przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem i wektory
a 1 , . . . , an stanowią bazę przestrzeni V , to układ wektorów A( a 1) , . . . , A( an) jest bazą przestrzeni W .
D o w ó d. Wystarczy udowodnić, że
W = span ( A( a 1) , . . . , A( an)) .
Niech y będzie dowolnym wektorem przestrzeni W . Z założenia, że A jest izomorfizmem wynika, że istnieje wektor x w przestrzeni V taki, że
y = A( x) .
Ponieważ wektory a 1 , . . . , an stanowią bazę przestrzeni V , więc generują przestrzeń V . Wobec tego istnieją elementy ξ 1 , . . . , ξn z ciała K takie, że
x = ξ 1 a 1 + · · · + ξnan.
Wtedy
y = A( x) = A( ξ 1 a 1 + · · · + ξnan) = ξ 1 A( a 1) + · · · + ξnA( an) , skąd wnioskujemy, że wektory A( a 1) , . . . , A( an) generują przestrzeń W .
Twierdzenie 2 Jeżeli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem i przekształca bazę jakąś przestrzeni V na bazę przestrzeni W , to przekształcenie A jest izomorfizmem.
D o w ó d. Niech układ wektorów a 1 , . . . , an stanowi bazę przestrzeni V , dla której układ wektorów A( a 1) , . . . , A( an) stanowi bazę przestrzeni W .
2
Udowodnimy najpierw, że przekształcenie A przekształca przestrzeń V
na przestrzeń W . Niech więc y będzie dowolnym wektorem przestrzeni W .
Istnieją elementy η 1 , . . . , ηn ciała K takie, że
y = η 1 A( a 1) + · · · + ηnA( an) , czyli
y = A ( η 1 a 1 + · · · + ηnan) , a ponieważ wektor η 1 a 1+ · · ·+ ηnan należy do przestrzeni V , więc y jest obra-zem pewnego wektora z przestrzeni V . Dowodzi to, że funkcja A przekształca zbiór V na zbiór W .
Teraz udowodnimy, że funkcja A jest różnowartościowa. Niech więc wek-
tory x i u z przestrzeni V spełniają warunek
A( x) = A( u) .
Ponieważ układ wektorów a 1 , . . . , an stanowi bazę przestrzeni V , więc istnieją elementy ξ 1 , . . . , ξn oraz η 1 , . . . , ηn w ciele K takie, że
x = ξ 1 a 1 + · · · + ξnan
i
u = η 1 a 1 + · · · + ηnan.
Wtedy
0 = A( x) − A( u) = A( x − u) = A(( ξ 1 − η 1) a 1 + · · · + ( ξn − ηn) an) , czyli
0 = ( ξ 1 − η 1) A( a 1) + · · · + ( ξn − ηn) A( an) .
Stąd i z liniowej niezależności wektorów
A( a 1) , . . . , A( an) ,
wnioskujemy, że
ξ 1 − η 1 = 0 , · · · , ξn − ηn = 0 ,
a to dowodzi równości x = u, czyli różnowartościowości funkcji A.
Z dwóch powyższych twierdzeń wynikają następujące wnioski.
3
Wniosek 1 Przekształcenie liniowe skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V w przestrzeń liniową W nad wspólnym ciałem jest izomorfizmem
wtedy i tylko wtedy, gdy przekształca każdą bazę przestrzeni liniowej V na
bazę przestrzeni W .
Wniosek 2 Przekształcenie liniowe skończenie wymiarowej przestrzeni li-
niowej V w przestrzeń liniową W nad wspólnym ciałem jest izomorfizmem
wtedy i tylko wtedy, gdy przekształca jakąś bazę przestrzeni liniowej V na
bazę przestrzeni W .
Jeśli istnieje izomorfizm przestrzeni liniowej V na przestrzeń liniową W ,
to przestrzenie te nazywamy izomorficznymi . Zapisujemy wtedy V ∼
= W .
Z powyższych wniosków łatwo można wywnioskować, że ∼
= jest relacją rów-
noważności w każdej rodzinie przestrzeni liniowych nad danym ciałem.
Wniosek 3 Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K
oraz B – bazą przestrzeni V . Przekształcenie A : V −→
n
K , przekształcające
dowolny wektor x z przestrzeni V w ciąg jego współrzędnych względem bazy
B, jest izomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń
n
K .
Wniosek 4 Dwie skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad tym sa-
mym ciałem są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.
2
Rząd przekształcenia liniowego
Z poprzednich rozważań wiemy, że Ker A jest podprzestrzenią liniową prze-
strzeni V dla każdego przekształcenia liniowego A : V −→ W .
Podobnie, Im A jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W .
Przyjmujemy zatem
Definicja 3 Rzędem przekształcenia liniowego A : V −→ W nazywamy wymiar podprzestrzeni Im A, defektem tego przekształcenia liniowego nazywamy
wymiar podprzestrzeni Ker A.
4
rz A = dim Im A,
i
def A = dim Ker A.
Twierdzenie 4 Jeśli V jest przestrzenią skończenie wymiarową, W — do-woloną przestrzenią liniową i A : V −→ W — przekształceniem liniowym,
to
rz A + def A = dim V .
3
Macierz przekształcenia liniowego
W tym paragrafie zajmiemy się związkami przekształcenia liniowego z ma-
cierzą. Oczywiście, nie zawsze tak można uczynić. Taki związek znajdziemy
tylko dla przekształceń liniowych skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej
w przestrzeń liniową skończenie wymiarową. W związku z tym zakładamy,
że wszystkie przestrzenie liniowe rozważane w tym rozdziale będą przestrze-
niami skończenie wymiarowymi.
Z twierdzenia o określaniu przekształcenia liniowego wiemy, że takie prze-
kształcenie liniowe jest jednoznacznie wyznaczone przez wartości tego prze-
kształcenia dla wektorów bazy. Niech więc V i W będą przestrzeniami linio-
wymi nad ciałem K i niech układ ( x 1 , . . . , xn) będzie bazą przestrzeni V , natomiast układ ( y , . . . , y ) będzie bazą przestrzeni W .
1
m
Niech A będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Każdy wektor A( xj) można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów y , . . . , y , tzn. istnieją liczby a
1
m
ij z ciała K takie, że
A( xj) = a 1 jy + . . . + a
,
gdy j ∈ { 1 , . . . , n}.
1
mj ym
Otrzymane współczynniki tworzą macierz o m wierszach i n kolumnach
a
11
. . .
a 1 n
. . .
. . .
. . .
.
am 1
. . .
amn
5
i
Oznaczamy tę macierz symbolem A
lub M A lub krótko A . Macierz tę
Y,X
nazywamy macierzą przekształcenia A względem baz X i Y, gdzie
X = ( x 1 , . . . , xn) i Y = ( y , . . . , y ) .
1
m
Zauważamy, że j-ta kolumna składa się ze współczynników rozwinięcia wek-
tora A( xj) względem bazy ( y , . . . , y ) .
1
m
6