S 6 Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich jednakowo dokładnych, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy


Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich jednakowo dokładnych

Źródła błędów:

1) niedoskonałość zmysłów obserwatora,

2) narzędzia pracy (taśma, teodolit, niwelator, łata itp.),

3) warunki pracy: czyli środowisko (temperatura, wiatr, teren pagórkowaty lub zadrzewiony).

Podział błędów:

1) absolutne (0x01 graphic
)to błędy przypadające na całą mierzoną wielkość

2) błędy względne (0x01 graphic
)wyrażają stosunek błędu absolutnego do wielkości mierzonej, a więc są to błędy przypadające na jednostkę wielkości mierzonej; błędy względne służą do oceny dokładności pomierzonych wielkości; w tym celu przedstawiamy je zazwyczaj w postaci ułamka lub w procentach.

1) błędy grube (omyłki) - zostają wykryte i wyeliminowane przez podwójne pomiary tych samych wielkości}

2) błędy systematyczne (stałe) - mają stały znak (+ lub -) a czasem stałą wartość i najczęściej dają się usunąć z dokonanych obserwacji przez wprowadzenie do wyniku odpowiedniej poprawki (np. wpływ temperatury na pomiar długości taśmą stalową), lub przez zastosowanie odpowiedniej metody pomiaru (np. usunięcie błędu ekscentryczności alidady przez wzięcie średniej arytmetycznej z odczytów dwóch, noniuszy).

3) błędy przypadkowe - niewielkie i z różnymi znakami są nieuchwytne i dlatego niemożliwe do usunięcia. Rachunek wyrównawczy zajmuje się tylko błędami przypadkowymi. Błędy przypadkowe dzielimy na;

1) błędy prawdziwe (rzeczywiste),

2) błędy pozorne.

Najczęściej w praktyce mamy do czynienia z błędami pozornymi.

Błąd prawdziwy ε jest to różnica między wartością prawdziwą X a obserwowaną l:

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic

Błąd pozorny v jest to różnica między wartością najprawdopodobniejszą 0x01 graphic
(średnią arytmetyczną) a wartością obserwowaną (pomierzoną) l:

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic

Dla charakterystyki dokładności pomiarów przyjmuje się najczęściej następujące wielkości:

1) błąd średni m,

2) błąd graniczny 0x01 graphic

Błąd średni spostrzeżeń jednakowo dokładnych

Błąd średni - wskaźnik dokładności w geodezji - pozwala na ocenę dokładności wykonanej pracy. Rozróżniamy błędy średnie: pojedynczego spostrzeżenia i średniej arytmetycznej.

Błąd średni m pojedynczego spostrzeżenia wyrażony przez błędy prawdziwe określony jest wzorem:

0x01 graphic

gdzie liczba pomiarów 0x01 graphic
.

W praktyce stosujemy zazwyczaj błąd średni pojedynczego spostrzeżenia wyrażony przez błędy pozorne:

0x01 graphic

Błąd średni m pozwala ocenić dokładność wykonania poszczególnego pojedynczego pomiaru, czyli przy kilku pomiarach tej samej wielkości charakteryzuje nam dokładność każdego z nich.

Jeśli mamy n obserwacji (spostrzeżeń) tej samej wielkości X, np. 0x01 graphic
to najprawdopodobniejszą wartością tej mierzonej wielkości będzie średnia arytmetyczna

0x01 graphic

Oczywiście wyznaczona z tego wzoru średnia arytmetyczna jest również obarczona pewnym błędem. Ten średni błąd średniej arytmetycznej (tzw. wartości wyrównanej)

0x01 graphic

Zatem błąd średni średniej arytmetycznej jest 0x01 graphic
razy mniejszy od błędu średniego pojedynczego spostrzeżenia. Błąd ten pozwala ocenić dokładność przyjętej przez nas najprawdopodobniejszej wartości wyrównanej.

Błąd graniczny

Błędem granicznym nazywamy największą liczbową wartość błędu dopuszczalną dla danego szeregu spostrzeżeń. Z teorii błędów wynika, że na 1000 spostrzeżeń (dotyczących tej samej wielkości) należy się spodziewać zaledwie trzech spostrzeżeń z błędami większymi od trzykrotnego błędu średniego. Stąd przyjęto uważać trzykrotny błąd średni za błąd graniczny, czyli dopuszczalny;

0x01 graphic

Często też za błąd graniczny przyjmuje się podwójny błąd średni. Błędy większe od błędu granicznego uważa się już za błędy grube.

Własności średniej arytmetycznej i błędów pozornych

1) Przy wzrastaniu liczby spostrzeżeń (0x01 graphic
) średnia arytmetyczna (0x01 graphic
) spostrzeżeń tej samej wielkości dąży do rzeczywistej wartości tej wielkości (X):

0x01 graphic

2) Suma błędów pozornych równa się zeru

0x01 graphic

Zależność powyższą stosujemy do kontroli rachunku.

3) Suma kwadratów błędów pozornych powinna być minimum:

0x01 graphic

Na tej zasadzie opiera się rachunek wyrównawczy i od niej nosi nazwę „metody najmniejszych kwadratów".

Zadania

Zadanie 1. Zmierzono długości trzech różnych odcinków:

140 m - z błędem absolutnym 7 cm,

204 m - z błędem absolutnym 8 cm,

247 m - z błędem absolutnym 13 cm.

który odcinek został zmierzony najdokładniej?

Rozwiązanie. Obliczamy błędy względne pomierzonych długości;

0x01 graphic

Odp. Najdokładniej został zmierzony odcinek długości 204 m, gdyż błąd względny pomiaru tej długości jest najmniejszy.

Zadanie 2. Pewną długość pomierzono taśmą dziewięciokrotnie i otrzymano wyniki:

1 = 182,06 m, l. = 182,15 m, l = 182,07 m,

l = 182,13 m, l = 132,05 m, l = 182,12 m,

l = 182,10 m, l = 182,08 m, l = 182,14 m.

Obliczyć najprawdopodobniejszą długość, błąd średni pojedynczego spostrzeżenia oraz błąd średni wartości wyrównanej (średniej arytmetycznej).

Rozwiązanie. W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy wartość przybliżoną 0x01 graphic
szukanej wielkości. Jest to zwykle najmniejsza wartość 0x01 graphic
- tutaj przyjęto 0x01 graphic
. Wówczas w celu wyznaczenia średniej 0x01 graphic
obliczamy średnią arytmetyczną różnic 0x01 graphic
między rezultatami pomiarów a przyjętą przybliżoną wartością 0x01 graphic
. Dla przejrzystości obliczenia wykonano w poniższej tabeli.

Lp.

Wyniki pomiarów

t w cm

v

vv

tt

Obliczenia błędów średnich

1

182.06

6

+4

16

36

Średnia arytmetyczna;

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic

Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia:

0x01 graphic

Błąd średni średniej arytmetycznej

0x01 graphic

Kontrola: 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

2

182,13

13

-3

9

169

3

182,10

10

0

0

100

4

182,15

15

-5

25

225

5

182,05

5

+5

25

25

6

182,08

8

+2

4

64

7

182,07

7

+3

9

49

8

182,12

12

-2

4

144

9

182,14

14

-4

16

196

x0

182,00

90

0

108

1008

Dla kontroli obliczonej sumy kwadratów błędów pozornych wykorzystano wzór

0x01 graphic
.

Zadanie 3. Na pewnym punkcie zmierzono kąt 5 razy z tą samą dokładnością i otrzymano wyniki podane poniżaj w tabelce w drugiej kolumnie. Obliczyć najprawdopodobniejszą wartość kąta, błąd" średni pojedynczego pomiaru oraz błąd średni wartości wyrównanej (średniej arytmetycznej).

Rozwiązanie podano w tabeli.

Lp.

Wyniki pomiarów

t

v

vv

tt

Obliczenia błędów średnich

1

82°41'15"

15"

+12"

144

225

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Kontrola: 0x01 graphic

0x01 graphic

2

82°41 '30"

30

- 3

9

900

3

82°42 '00"

60

-33

1089

3600

4

82°41"00"

0

+27

729

0

5

82°41'30"

30

- 3

9

900

x0

82°41'00"

135

0

1980

5625

Zadanie 4. Błąd średni pojedynczego pomiaru kąta 0x01 graphic
. Ile razy trzeba zmierzyć kąt, aby otrzymać wynik, z błędem średnim 0x01 graphic
?

Rozwiązanie

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Kąt należy pomierzyć 9 razy, bo wtedy błąd średni średniej arytmetycznej wyniesie 0x01 graphic
.

Błędy średnie funkcji pomiarów bezpośrednich

1. Zamierzono wielkość x z błędem średnim 0x01 graphic
. Błąd śre­dni 0x01 graphic
iloczynu 0x01 graphic
gdzie a jest wielkością stałą, wynosi: 0x01 graphic
.

2. Zmierzono dwie niezależne od siebie wielkości 0x01 graphic
i 0x01 graphic
ze średnimi błędami 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Błąd średni sumy lub różnicy tych wielkości mierzonych, czyli błąd 0x01 graphic
funkcji 0x01 graphic
, wynosi:

0x01 graphic

Jeśli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
to 0x01 graphic
.

Dla n obserwacji przy 0x01 graphic

0x01 graphic
.

Wiemy, że błędy systematyczne rosną proporcjonalnie do wartości wielkości mierzonej (lub liczby spostrzeżeń na przykład odłożeń taśmy przy pomiarze długości). Natomiast ze wzoru 0x01 graphic
wynika, że błędy przypadkowe rosną proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego z wartości wielkości mierzonej (lub z liczby spostrzeżeń).

Błąd średni funkcji liniowej

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
- stałe współczynniki, 0x01 graphic
- wielkości zmierzone z błędami średnimi

0x01 graphic
wynosi

0x01 graphic
.

Błąd średni dowolnej funkcji

0x01 graphic

0x01 graphic
- wielkości mierzone z błędami średnimi 0x01 graphic

0x01 graphic
(bf)

Wzór ten jest wzorem ogólnym, na podstawie, którego możemy obliczyć błędy średnie wszystkich wymienionych powyżej funkcji.

Zadanie 5. Obliczyć błędy średnie następujących funkcji

a) 0x01 graphic
; b) 0x01 graphic
; c) 0x01 graphic
; d) 0x01 graphic

Rozwiązania

a) 0x01 graphic
. Na podstawie tego wzoru, określamy odległość pomierzoną dalmierzem. We wzorze tym wielkość stała 0x01 graphic
, a l to odczyt na łacie zawarty między kreskami skrajnymi dalmierza. Błąd średni odległości 0x01 graphic
. Zatem błąd 0x01 graphic
odległości pomierzonej dalmierzem jest stukrotnie większy od błędu odczytu na łacie 0x01 graphic
.

W przykładach b), c), d) korzystamy z zależności (bf)

b) 0x01 graphic
, ponieważ: 0x01 graphic
, 0x01 graphic

c) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

d) 0x01 graphic
, ponieważ 0x01 graphic
0x01 graphic

Zadanie 6. W trójkącie zmierzono dwa kąty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
z błędami średnimi 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Obliczyć trzeci kąt trójkąta 0x01 graphic
i jego błąd średni 0x01 graphic
.

Rozwiązanie

0x01 graphic

Zadanie 7. Przy jednym odłożeniu taśmy 20-metrowej błąd systematyczny0x01 graphic
, a błąd przypadkowy 0x01 graphic
. Jakie będą błędy systematyczne i przypadkowe dla mierzonego tą taśmą boku długości 500 m (25 odłożeń taśmy)?

Rozwiązanie, Oznaczając 0x01 graphic
Otrzymujemy:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Zadanie 8. Siatkę kwadratów można wykreślić za pomocą zwykłego cyrkla pełniącego rolę odmierzacza i podziałki dwoma sposobami:

a) odmierzamy jeden raz na podziałce odcinek 10 cm (bok kwadratu) i odkładamy go wielokrotnie wzdłuż brzegu arkusza pierworysu

b) przed każdym odłożeniem odcinka 10 cm odmierzamy go na podziałce.

Który sposób jest dokładniejszy, jeśli uwzględnimy tylko błędy odmierzenia odcinka?

Rozwiązanie. W pierwszym wypadku popełniamy błąd stały 0x01 graphic
przy naniesieniu każdego odcinka. Błąd naniesienia końcowego punktu siatki kwadratów przy n bokach wyniesie:

0x01 graphic

Dla0x01 graphic
,0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

W drugim wypadku za każdym odłożeniem boku kwadratu popełniamy błąd średni m, który będzie błędem przypadkowym, a więc z, różnymi znakami. Błąd naniesienia końcowego punktu siatki kwadratów wyniesie;

0x01 graphic

Dla0x01 graphic
,0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

A więc drugi sposób jest niewątpliwie dokładniejszy.

Zadanie 9. Wyprowadzić wzór na odchyłkę kątową w ciągu poligonowym.

Rozwiązanie. Kąt 0x01 graphic
obliczamy z różnicy dwóch pomierzonych kierunków K1 i K2, czyli 0x01 graphic
. Błędy pomiaru kierunku 0x01 graphic
są to błędy przypadkowe, zatem błąd pomiaru kata

0x01 graphic
.

Kąty mierzymy w dwóch położeniach lunety, zatem błąd średni pomiaru kąta 0x01 graphic
(średniej arytmetyczne z dwóch położeń lunety)

0x01 graphic
.

Jeśli ciąg poligonowy składa się z n kątów, to błąd kątowy ciągu jest równy

0x01 graphic

Zadanie 10. Błąd pomiaru kierunku odczytanego na jednym noniuszu teodolitu wynosi 0x01 graphic
. Zmierzono kąt w dwóch położeniach lunety i w trzech seriach. Obliczyć błąd średni pomierzonego kąta (średniej arytmetycznej z trzech serii).

Rozwiązanie. Wprowadzamy oznaczenia pomocnicze; kierunek K odczytany na jednym noniuszu, średnia z odczytów dwóch noniuszy 0x01 graphic
,

kąt pomierzony w jednym położeniu lunety 0x01 graphic
,

kąt pomierzony w dwóch położeniach lunety 0x01 graphic

kąt pomierzony w trzech seriach 0x01 graphic
.

Błąd odczytu kierunku na jednym noniuszu

0x01 graphic
.

Błąd odczytu kierunku z dwóch noniuszy (błąd średni średniej arytmetycznej z dwóch odczytów);

0x01 graphic

Błąd pomiaru kąta 0x01 graphic
(0x01 graphic
):

0x01 graphic

Błąd pomiaru kąta0x01 graphic
(średniej arytmetycznej z dwóch położeń lunety)

0x01 graphic

Błąd średni pomiaru kąta 0x01 graphic
(średniej arytmetycznej z trzech serii):

0x01 graphic

Odpowie. Błąd średni kąta pomierzonego w trzech seriach wynosi 0x01 graphic

Uwaga. Należy rozróżniać, kiedy błąd średni mnożymy, a kiedy dzielimy przez pierwiastek z ilości spostrzeżeń (0x01 graphic
):

1) Mając do czynienia z funkcją spostrzeżeń obliczamy jej błąd mnożąc błąd średni pojedynczego spostrzeżenia przez 0x01 graphic
.

2) Gdy obliczamy błąd średni średniej arytmetycznej, oczywistym jest, że błąd ten będzie mniejszy od błędu średniego pojedynczego pomiaru, a zatem należy ten ostatni podzielić przez 0x01 graphic
.

Zadanie 11. Błąd średni pojedynczego pomiaru kąta teodolitem wynosi 0x01 graphic
W trójkącie zmierzono tym teodolitem kąt 0x01 graphic
cztery razy, a kąt 0x01 graphic
dziewięć razy. Jaki jest błąd średni trzeciego kąta w trójkącie?

Rozwiązanie. Z warunków zadania 0x01 graphic

Błąd średni średniej arytmetycznej z 4-krotnego pomiaru kąta 0x01 graphic
wynosi

0x01 graphic

Błąd średni średniej arytmetycznej z 9-krotnego pomiaru kąta 0x01 graphic
wynosi;

0x01 graphic

Trzeci kąt w trójkącie;

0x01 graphic

Błąd średni kąta 0x01 graphic
wynosi:

0x01 graphic

Zadanie 12, Błąd średni pojedynczego pomiaru kąta teodolitem wynosi 0x01 graphic
Ile razy należy zmierzyć tym teodolitem kąty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
w trójkącie, jeśli chcemy, aby błąd średni trzeciego obliczanego kąta 0x01 graphic
(o niedostępnym wierzchołku) nie przekraczał ±15”?

Rozwiązanie. Po oznaczeniu 0x01 graphic
, otrzymamy:

0x01 graphic
.

Błąd średni średniej arytmetycznej z nieznanej liczby n pomiarów kątów 0x01 graphic
i 0x01 graphic

0x01 graphic

Ale

0x01 graphic
,

Stąd

0x01 graphic
.

Odpowiedź. Gdy w trójkącie pomierzymy kąty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
po 8 razy, to błąd średni trzeciego kąta 0x01 graphic
o niedostępnym wierzchołku będzie wynosił ±15”.

Sprawdzenie

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Zadanie 13. Błąd azymutu wyjściowego 0x01 graphic
i błąd każdego pomierzonego kąta 0x01 graphic
Wyznaczyć błąd średni azymutu dziesiątej linii w tym ciągu.

Rozwiązanie. W ciągu poligonowym azymut dowolnej linii przy pomierzonych kątach prawych definiuje następująca zależność:

0x01 graphic

Przy bezbłędnym azymucie wyjściowym błąd średni azymutu dziesiątej linii wynosiłby

0x01 graphic

Po uwzględnieniu błędu azymutu wyjściowego błąd średni azymutu dziesiątej linii wyniesie

0x01 graphic
.

Odpowiedź. Błąd średni azymutu dziesiątej linii wynosi 0x01 graphic

Zadanie 14. Z jaką dokładnością należy mierzyć kąt pochylenia 0x01 graphic
, aby błąd średni poprawki obliczanej z wzoru 0x01 graphic
był równy błędowi średniemu pomiaru 100 metrowego boku 0x01 graphic

Przyjąć 0x01 graphic
i 0x01 graphic

0x01 graphic
,

0x01 graphic

(0x01 graphic
może być zaniedbana jako wielkość mała w porównaniu z drugim składnikiem).

0x01 graphic

0x01 graphic

Ponieważ

0x01 graphic

Więc

0x01 graphic
,

dla 0x01 graphic
0x01 graphic
,

dla 0x01 graphic
0x01 graphic
,

dla 0x01 graphic
0x01 graphic
,

dla 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Ogólnie można stwierdzić, że kąty pochylenia zawarte w przedziale 0x01 graphic
wystarczy mierzyć z dokładnością 0,1° (6'), a kąty mniejsze z jeszcze mniejszą dokładnością.

Zadanie 15. Pomierzono długość prostej d = 220,41 m ze średnim błędem 0x01 graphic
i azymut prostej 0x01 graphic
ze średnim błędem 0x01 graphic
Wyznaczyć błędy średnie przyrostów 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Rozwiązanie. Korzystając z wzoru, na błąd średni dowolnej funkcji 0x01 graphic
otrzymamy

0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Odpowiedź. Błędy średnie przyrostów wynoszą: 0x01 graphic
0x01 graphic

Zadanie 16. W trójkącie pomierzono podstawę a = 241,60 m z błędem średnim 0x01 graphic
i wysokość h =136,20 m z błędem średnim 0x01 graphic
. Obliczyć pole trójkąta i jego błąd średni.

Rozwiązanie.

0x01 graphic
Odpowiedź. Pole trójkąta P = 1 ha 6453 m2 0x01 graphic

Opracowano na podstawie Ćwiczeń z geodezji. J. Ząbek, Z. Adamczewski, S. Kwiatkowski

1



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
S 6 Spostrzeżenia niejednakowo dokładne, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
S 6 Wyrównanie spostrzeżeń niejednakowo dokładnych, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Opracowanie bezpośrednich wyników pomiarów, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
S 6 Spostrzeżenia bezpośrednie, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Miary dokładności spostrzeżeń, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Z Wyrównanie obserwacji bezpośrednich, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
S 6 Różnice spostrzeżeń, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Z Obliczenia dla sieci kątowej, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Sieci płaskie, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Obliczenia na liczbach przybliżonych, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Ćw. 1 Zastosowanie form rachunkowych Hausbrandta, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
S 7 Równania obserwacji 3, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Wyrównanie parametryczne - metoda macierzowa, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Wagi i błędności, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Wyrównania korelat, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Ściaga RW, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy

więcej podobnych podstron