1tom010

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 22

Wielomianem charakterystycznym kwadratowej macierzy A jest nazywany wielomian W(X) stopnia n zmiennej X określony następującą równością:

	(an-X)	“12	■■ aln
W(X) = det (A-XE) =	°2l	i.a22-x)	■■ 02,
	“ni	a*2	•• K„~x

Równaniem charakterystycznym macierzy kwadratowej A jest równanie W(X) = Act(A — XE) = 0.

Pierwiastki równania charakterystycznego nazywa się wartościami własnymi macierzy A.

Często korzysta się z twierdzenia Cayleya Hamiltona: Jeżeli W(X) = 0 jest równaniem charakterystycznym macierzy A, to

W(A) = a„A" + a„__lA"-¹+... + a₀E = 0

Oznacza to, że każda macierz kwadratowa spełnia swe równanie charakterystyczne.

Macierz i jej właściwości są wykorzystywane przy rozwiązywaniu układów równań algebraicznych.

Układ równań algebraicznych

Niejednorodnym układem m równań z n niewiadomymi jest nazywany układ

a_llx₁+a₁₂x₂+...+a₁„x„ = b_t a₂lx₁+a₂₂x₂+...+a₂nx„ = b₂

a_miX_l+a_m2x₂ + ...+a_mnx„ = b_m lub w zapisie macierzowym A X=B

gdzie: A =    _x „ jest nazywana macierzą układu; X = (xx_n)^T — macierzą kolumnową

niewiadomych; B = (fej,..., b_m)^T — macierzą kolumnową wyrazów wolnych. Jeżeli macierz B = 0, to układ równań nazywa się jednorodnym.

Macierzą rozszerzoną układu nazywa się macierz C wymiarów m x (n +1) postaci

	«11	012	...au	bi
c =	«21	022	... a2n	^b2
	0/n 1	^am2	... amn	bm

Rzędem macierzy A nazywa się najwyższy stopień różnych od zera wyznaczników tej macierzy. Rząd r macierzy A oznacza się symbolem R (A).

Istnienie rozwiązania układu m równań algebraicznych z n niewiadomymi rozstrzyga twierdzenie Kroneckera-Capelliego: warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by układ m równań z n niewiadomymi miał rozwiązanie jest, by rząd macierzy układu A był równy rzędowi macierzy rozszerzonej C, czyli R(A) = R(Q.

Jeżeli ponadto R(A) = R(C) = r = n, czyli liczbie niewiadomych, to wówczas układ równań algebraicznych ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeżeli R(/ł) = R(Q = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od (n—r) parametrów.

Oczywiście, jeżeli R(A) # R(Q, to układ nie ma rozwiązań. W przypadku, gdy macierz układu A jest kwadratowa i nieosobliwa, wówczas — korzystając z właściwości macierzy A — rozwiązaniem układu A-X — Bjest macierz X = A'¹ B.

Rozwiązanie układu n równań z n niewiadomymi wówczas, gdy macierz układu A jest nieosobliwa, detA ź 0, można obliczyć z wzorów Cramera

1	an...	^al,k-l	*1		Cl,
det A	“,i -	^an.k-l	K	°n.k+ 1 •••

n

W tym przypadku wartość niewiadomej x_k otrzymano dzieląc wartość wyznacznika, w którym k-ta kolumna macierzy układu A została zastąpiona kolumną wyrazów wolnych ), przez wartość wyznacznika macierzy A.

¹ Jeżeli układ równań jest jednorodny (5 = 0), to rząd macierzy układu jest zawsze równy rzędowi macierzy rozszerzonej. Zatem układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie. Takim rozwiązaniem jest rozwiązanie zerowe. Rozwiązanie niezerowe układu jednorodnego równań o macierzy A występuje wówczas, gdy det A = 0.

1.2.3. Szeregi trygonometryczne Fouriera

Każdej funkcji/(x) całkowalnej w przedziale < — /,/> o okresie 2 / można przyporządkować szereg trygonometryczny Fouriera

/(*)•

Y+Z

£ n= 1

nnx . nnx a_n cos—-—ho„sin—-—

o współczynnikach wyznaczonych wzorami Eulera-Fouriera

°o =T ! f(x)dx,

¹ -l

¹ [ ,, ,    ntxx

^an = yj/Wcos——dx,

.    1 i . . nnx ,

K =7 ! /(x)sin—— dx

i _|    i

Szereg trygonometryczny może być w pewnym punkcie x„ £< — /,/> rozbieżny, bądź też zbieżny do liczby różnej od /(x₀). Stąd też wprowadza się znak ~ oznaczający odpowiedniość.

Często korzysta się z warunków wystarczających na to, żeby znak odpowiedniości można było zastąpić znakiem równości, tzn. żeby funkcja f(x) w całym przedziale < — /,/) była sumą swojego szeregu Fouriera. Warunki te noszą nazwę warunków Dirichleta. Mówi się, że funkcja/(x) spełnia w przedziale < —/, /> warunki Dirichleta, jeżeli:

1.    Funkcja/(x) jest przedziałami monotoniczna w (—/, /);

2.    Funkcja/(x) jest ciągła w przedziale otwartym (—/, /), z wyjątkiem skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości x₀ wartość funkcji jest równa średniej arytmetycznej granicy lewostronnej i prawostronnej tej funkcji w tym punkcie, czyli

/(*o) = {[/(*o-)+/(x₀+)]

3.    Na krańcach przedziału są spełnione równości

/(-/)=/(/) = ![/(-/+)+/((-)]

Twierdzenie: Jeżeli funkcja/(x) spełnia w przedziale < —/, /) warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w szereg trygonometryczny Fouriera

nnx . nnx a_H cos —j—+b_n sin ——

dla każdego xe <—/, />; jeżeli ponadto funkcja/(x)jest okresowa o okresie 2/, to równość jest prawdziwa dla każdego x z dziedziny /(x).