1tom011

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI .24

Jeżeli f(x) jest w przedziale < — l, l) funkcją nieparzystą, tzn. f(x)= —/( —x) oraz spełnia warunki Dirichleta, to wówczas a_n = 0, n = 0,1...

,, .    ^ , . nnx    ²trt\-^nnXA

f(x) = Z b_nsm——,    gdzie b_n = — J/(x)sin—— dx

H=1    ^1    1 0    ¹

Jeżeli f(x) jest w przedziale <—/, /> funkcją parzystą, tzn./(x) =/(—x) oraz spełnia warunki Dirichleta, to wówczas b„ = 0, n = 1,2...

a„ "    nnx    .    2 ' ,    2 '    «rtx

/(x)=—+ L ^a»cos—j—,    gdzien₀ = — j/(x)dx,    a„ = — J/(x)cos—— dx

W szczególnym przypadku, gdy / = tc powyższe wzory przyjmują postać

a ⁰⁰

/(x) = -^-+ X (u„ cos nx+i>„ sin «x)

1 ^X    1 *

a₀ = — f /(x)dx; a„ = — J /(x)cosnxdx;

^ -x    ^ -X

1 *

b_H = — J /(x)sinnxdx

^ -ft

przy czym: gdy f(x) = —/(-x), wówczas

co    2 ^x

/M = £ fc„simix, a„ = 0,    = — j'/(x)sinnxdx

»=i    * o

gdy/(x) =/(—x), wówczas

f(x)

-+ £ a„cosnx, b„ = 0, a₀ = — j/(x)dx, a„ = — J/(x)cosnxdx

W zależnościach tych człony rozwinięcia w szereg są nazywane harmonicznymi, a liczba naturalna n — rzędem harmonicznej.

Szereg Fouriera można zapisać

—    w postaci sinusowej

f(x) = Z d„sin(nx+ijtj

*• n- 1

w przedziale <—it, it)

gdzie: d„ = ^Jal + bl oznacza n-tą amplitudę harmonicznej, <p_n — fazę początkową n-tej harmonicznej, przy czym

. , a.    b_n

^smi^"⁼ T’ ^cos^-⁼ T

—    w postaci zespolonej

/(*)= Z

gdzie: c„ = y    |c„| — dyskretne widmo amplitudy, — dyskretne widmo

fazy.

1.2.4. Przekształcenia całkowe i dyskretne

Przekształcenia całkowe stanowią jedną z najczęściej stosowanych metod rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych i o pochodnych cząstkowych, a także ich układów. W elektrotechnice są stosowane zazwyczaj dwa przekształcenia: Fouriera i Laplacea oraz ich odpowiedniki dyskretne, zwane dyskretnym przekształceniem Fouriera i dyskretnym przekształceniem Laplacea, znanym pod nazwą przekształcenia Z.

Przekształcenie Fouriera

Jeżeli funkcja rzeczywista f(t) spełnia w każdym przedziale otwartym (a, b) dwa pierwsze warunki Dirichleta oraz całka

oo

| | /(r)| d t jest zbieżna

— OO

to funkcji/(t) można przyporządkować funkcję zmiennej zespolonej F(ja>) za pomocą następujących zależności:

—    proste przekształcenie Fouriera

F(j co) = ] e^-i"'/(t)df

- CO

—    odwrotne przekształcenie Fouriera

=    d(o

²⁷¹ -CO

Funkcja F(jco) jest nazywana transformatą Fouriera funkcji f(t), zaś /(£) — funkcją transformowalną. Stosując symbole    oznaczające odpowiednio proste i odwrotne

przekształcenie Fouriera, powyższe zależności można zapisać następująco:

F<j(0)=Ftf(t)l m = F-^l[F()a>)-]

Transformatę Fouriera funkcji rzeczywistej f(t) można wyrazić w postaci zespolonej F(jw) = |F(jw)|ei^SM

W analizie obwodów elektrycznych istotne znaczenie mają trzy rodzaje widm:

—    F(jco) — charakterystyka widmowa funkcji/(t);

—    |F(jco)| — charakterystyka amplitudowa, widmo amplitudowe f(t);

—    6{a>) — charakterystyka fazowa, widmo fazowe funkcji /(£).

Jeżeli funkcja/(£) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale <0, oo), tzn. całka

J 1/(01 df

o

jest zbieżna oraz spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w przedziale otwartym (a, b) przy a > 0, to wówczas korzysta się z następujących przekształceń Fouriera:

—    kosinusowego

CO

Ffco) = J /(rjcoscotdt, o

2 ⁰⁰

f(t) = — j F_c(co) cos co td co ⁿ o

sinusowego

oc

^s(®) = J f(t) sin co t dr, o

2 co

f(t) = — J F_s(co)sino)tdco

n o