1tom012

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI

Splotem dwustronnym funkcji/_x(£), f₂(t) w przedziale (—00, 00), bezwzględnie całkowalnych w tym przedziale nazywa się funkcję

/i(0*/₂(f)= ? /iW/₂(£—t)dT

— co

Jeżeli istnieją transformaty Fouriera funkcji /j(t) i /₂(t) oraz są zbieżne całki

? l/ittfdt, J IA(t)l²dt

— co    — co

to istnieje transformata ich splotu, przy czym

r c m*f₂m = f urn?

W tablicach 1.1. i 1.2 podano podstawowe wzory i właściwości przekształcenia Fouriera.

Tablica 1.1. Podstawowe wzory przekształcenia Fouriera

Funkcja f(t)	Transformata F(jcu)
e—^1
	2a
	a^2 +to^2
1 t^2 + a^2	K . . — C~ a
|I dla |t| < t0	^ sińcu t0
(0 dla |(| > t0	cu
sin at	(k dla |cu| < a
t	(0 dla lco| > a
Pe—1 <()	n\
	(a+jaf*'

Tablica 1.2. Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera

Zależność	Założenia
d*F(io>) dcu"	t”f(t) bezwzględnie całkowalna w re(—oo, oo)
^[F"(t>] = 0«>r#-[f(ł)] = (ioitrFda)	1.    /(t)eć^,~^i dla re(—oo, oo) 2.    f^k\ł\k = 0>\,..../i-i bezwzględnie całkowalna w re(oo, oo) lim f* (f) = 0 r-±«o
	3. n-ta pochodna f(t) istnieje prawie wszędzie i jest bezwzględnie całkowalna dla te(— cc, oo)
^Cf(I-to)] =	f(t) bezwzględnie całkowalna dla re( —oo, oo)
= F[j(a>—“0)] = F[j(<»+c»o)]	f{t) bezwzględnie całkowalna dla re(—oo, oc)

Przekształcenie Laplace’a

Niech/(t) jest funkcją rzeczywistą określoną w przedziale <0, co), zaś s = x+jy zmienną zespoloną. Jeżeli całka Laplace’a

]e-“f(t)dt

o

jest zbieżna, to funkcji f(t) można przyporządkować funkcję f(s) zmiennej zespolonej spełniającą zależności

7(») = Ie-*/(t)d*. /« = -^~^X f 7(s)e^s,dr

b    ^J *-j«

Zależności powyższe są prostym i odwrotnym przekształceniem Laplace’a, zaś funkcja f(s) jest transformatą Laplace’a funkcji rzeczywistej/(t).

Za pomocą symboli 3C, &~^l, oznaczających odpowiednio proste i odwrotne przekształcenie Laplace’a, można zależności te zapisać następująco:

7U) = ^ [/(£)], /(0 = ar^_1[7(s)]

Warunkiem wystarczającym na to, aby całka Laplace’a była zbieżna jest, by funkcja f(t) była tzw. oryginałem Laplace'a.

Funkcja y(t) jest oryginałem Laplace’a, jeżeli spełnia następujące warunki:

1.    f(t) = 0 dla t < 0;

2.    Spełnia w każdym przedziale skończonym (a, b) przy a > 0 pierwszy i drugi warunek Dirichleta;

3.    Istnieją stałe M > 0 i q > 0 takie, że dla każdego t > 0 |/(t)| Me'¹

Nic wyklucza to oczywiście możliwości istnienia transformaty funkcji f(t), która nie jest oryginałem.

Splotem jednostronnym funkcji fAt),f₂(t) w przedziale <0, oo), bezwzględnie całkowalnych w tym przedziale nazywa się funkcję

= i/i(T)/₂(t-T)dr o

zaś pochodną splotu nazywa się całką Duhamela.

Jeżeli chociaż jedna z funkcji/,(£) lub/_?(t) jest ograniczona w każdym przedziale (0. b), b > 0, to splot j\{t)*f₂(t) istnieje i jest ciągły dla każdego £ > 0 oraz dąży do zera, gdy £ -* (0 + ). Jeżeli /,(£) dla t > 0 jest funkcja ciągłą oraz/,(t) ma dla £ > 0 ciągłą pochodna

fi(t\ to

~ C/i(£) */.(£)] =/₂(0+)/i(<) +/₂(0*/i(£)

Twierdzenie Borela: Jeżeli całki Laplace’a funkcji/,(£) i/₂(t) są bezwzględnie zbieżne, to

^[/,(0*/₂(0] =7i(s)7₂(s)

2 twierdzenia Borela i twierdzenia o transformacie pochodnej wynika zależność

2t