1tom013

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI    2$

W tablicach 1.3 i 1.4 podano podstawowe wzory i właściwości przekształcenia Laplace’a.

Tablica 1.3. Podstawowe wzory przekształcenia Laplace’a

Funkcja f{t\ f(t) = 0 dla t< 0	Transformata /(s)	Funkcja /(r), /(t) = 0 dla f <0	Transformata f(s)
uo	1 s	sinojr	co s^2 + co^2
t^n	n!	coscuf	s s^2+o>^2
f^v	0+1) ^V>1 0+1) = f e^-1**dx 0 funkcja f-Eulera	e~“'sincot	CO (s+a)^2 + u>^2
i TT	£	e~“coscur	s+a (s+a)^2+u>^2
v/r	-Jn 1 2 s^312	r sincur	2cos (s^2 + CO^2)^2
e“"	1 s+a	t coscor	s^2—w^2(s^2 -f- co^2)^2
I(.-e-')	i s(s+a)	shat	a s^2—a^2
t"e~“	n! --—rr neW (■s+a)"^łl	chat	s s^2-a^2

Tablica 1.4. Podstawowe właściwości przekształcenia Laplace’a

Lp.	Zależność
1.	a-[/"w)=sj{s)-m
2.	Z{J"\0] = *"/(*)- xV‘^_1AO) k-0
3.	^^/(TkiiJ-i/W
4.	TT II > +
5.	2-[/(t-t„)l«-t„)] = e-»»/(s), 1 (t-t0) = |°’ ‘ ^< t0»0 (.*» t > to
6.	as"
7.	H?H^/(r)dr
8.	/(O = -S" ^1(/(s)] = X rcsLTC^5)^0^] gdzie s„ i = 1,n bieguny funkcji /(s)

Dyskretne przekształcenie Fouriera

Funkcję/(t) zmiennej rzeczywistej okresową o okresie T można zapisać w postaci zespolonego szeregu Fouriera

CC    1 ^Tm

f(t) =    £ ^c»e^jn<B"' gdzie C„ = — j'/(t)c^_Jm;Vdt

„=-*    ¹ o

Przv numerycznym obliczaniu sumy powyższego szeregu zastępuje się zazwyczaj sumę nieskończoną sumą skończoną, zaś całkę wyznaczającą współczynniki c„ aproksymuje się odpowiednią sumą skończoną. W tyrn^ celu wprowadza się równoodległe punkty _t _ _mj gdzie T, = T/N, wielkość w = e>^2jz/N będącą pierwiastkiem stopnia N zjedności, czyli w^s = 1.

' W len sposób otrzymuje się wartości funkcji dyskretncj/(t J zbudowanej z funkcji f(t) w postaci sumy nieskończonego szeregu zawierającego potęgi liczby w

/(0=/(mT,)= I c„w”“

n = — oo

Jest to podstawowa zależność wykorzystywana przy numerycznym obliczaniu szeregów Fouriera w postaci zespolonej.

Stosując następnie przybliżenie całki, otrzymuje się I t    j *-i

c_n = - J/Ktje-Wdt * — Z f(mT_l)y>-^m" = c„ r o    ™ m = 0

gdzie N jest liczbą wartości funkcji dyskretnej/(mT,) w przedziale (0, T).

Można wykazać, że między funkcją dyskretną/(m7j) a współczynnikami c„, będącymi przybliżeniem współczynników c„ szeregu Fouriera, zachodzą zależności

/(m7j) =

n = 0

1

c_n — —— Y /(^m7j)w ^m" m,n, = 0,1 N m = 0

Podstawiając f(mT_t) = A_m oraz ć„ = a„, otrzymano ciąg

N- 1 n = 0

zwany dyskretnym przekształceniem Fouriera, którego przekształceniem odwrotnym jest ciąg

1 A-l

“« = TT X "^m n = 0,1,.... JV — 1

™ m = 0

gdzie w =    = cos 2n/N +} sin 2n,/N.

Właściwości ciągów A_m i a_n, algorytmy obliczeń i przykłady można znaleźć w [1.9],

Przekształcenie Z (dyskretne przekształcenie Laplace’a)

Przekształceniem Z nazywa się przekształcenie określone wzorem

^F(z) = Z/(n)z~ⁿ 0

które przyporządkowuje funkcji dyskretnej f(n), neN,f(n) = 0 dla n < 0, funkcję F(z) zmiennej zespolonej z. Funkcję/(n) nazywa się oryginałem, a F(z) — transformatą Z funkcji f(n). Transformata F{z) funkcji f{n) istnieje, jeżeli powyższy szereg jest zbieżny. Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które rosną nie szybciej od funkcji wykładniczych.