1tom014

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 30

Przekształcenie Z można zapisać w skrócie F(z) = Z [/(«)]

natomiast oryginał przekształcenia w postaci f(n) = Z^-1[F(z)]

Oryginał /(?t) można wyliczyć ze wzoru /(«) = f F(z)z"“‘dz

-⁷¹! K(O.r)

całkując po okręgu K(0, r) o środku w początku układu i o takim promieniu r, aby wszystkie bieguny funkcji F(z) znajdowały się wewnątrz tego okręgu.

Korzystając z teorii residuów powyższą całkę można obliczyć ze wzoru

k

f(n) = Y. ^r?s [F(z)z'^l_']

i ¹

gdzie Zj, i = 1 są biegunami funkcji F(z).

Jeżeli z, jest biegunem r-krotnym funkcji F(z), to residuum funkcji F(z)z” “¹ w tym punkcie można obliczyć korzystając ze wzoru

res [F(z)z'^l_1 =    ‘ lim .-.-y [FfzHz-zJz"^¹]

₂,    (r-l)!_„. dz

W szczególności dla r = 1 (biegun jednokrotny) wzór ten przyjmuje postać

res [F(z)z” '] = lim [F(z)(z — z,)z" ’]

Zj    Z”*z,-

L(z)

Jeżeli transformata jest funkcją wymierna postaci F(z) =-, gdzie stopień wielomianu

M(z)

L(z) równy m, jest nie wyższy od stopnia wielomianu M(z) równego k, k > m, oraz wielomian AJ (z) ma pierwiastki wyłącznie jednokrotne i różne od jedności, to wówczas

/(»)=

i=i M (z,)

Jeżeli wielomian AJ (z) ma jednokrotny pierwiastek równy jedności, to wówczas M(ż) = (z— l)AJj(z); jeżeli ponadto wielomian AJ^z) ma (k— 1) pierwiastków jednokrotnych, różnych od jedności, to

/f") =

L(l) y Liz,)

M,( 1)    £ (z-l)Mj(z,.) '

Splotem f_l(n)*f₂{n) funkcji dyskretnych /,(«) i /₂(n) nazywa się funkcję dyskretną określoną wzorem

/i (")*/»= i7,(»-o/2(0

i= 1

Jeżeli funkcje dyskretne/^n) i/₂(n) mają odpowiednio transformaty Z równe F_x(z) i F₂(z), to transformata Z splotu tych funkcji równa się iloczynowi transformat F,(z) i F,(z), czyli

Z [/) («)*/»] = F!(z)-F₂(z)

Przekształcenie Z stosuje się najczęściej do rozwiązywania równań różnicowych o stałych współczynnikach. Wówczas użyteczny jest wzór

ZLHn + k)1 = z*F(z)— X/(ⁿ)z*” gdzie F(z) = Z[/(n)]

W szczególnym przypadku, gdy /(O) =/(l) = ... =/(k—1) = O wzór upraszcza się do postaci

ZLf(n + k)] = z*F(z)

Jeżeli funkcja dyskretna jest przesunięta w prawo o k względem /(«), to Z[/(n-k)] = 2-^kF(z)

Transformata Z różnicy pierwszego rzędu Af(ń) =f(n+l)-f(n) wynosi Z[A/(n)] = (z - l)F(z)-z/(0)

Podstawowe wzory transformaty Z podano w tabl. 1.5.

Tablica 1.5. Transformaty Z niektórych funkcji dyskretnych

Funkcja/(n)	Transformata F(z)	Funkcja /(n)	Transformata F(z)
	2		az
l(n)	2-1	na*	(z-a)^2
	Z	fO, n < k	1
		{	-7—j- keN
	(2-1)^1	(1, n > k
„2	2(1+1)	a*	;
	(2-l)^J	n!
„3	z(z^2+4z + 1)		z
	(z-l)‘		z-c*
n(n-l)	2 z	cos an	z(z-cosa)
	(2-l)^J		z^2-2z coso + 1
a" a # 0	Z	sin an	z sin a
	z—a		z^2—2zcosa+ 1

Uwaga: wszystkie funkcje dyskretne f(n) spełniają warunek /(n) = 0 dla n < 0.

1.2.5. Działania różniczkowe na polach skalarnych i wektorowych

Jeżeli każdemu punktowi zbioru X przyporządkujemy:

—    skalar ę^to mówimy, że w zbiorze X zostało określone pole skalarne ę = rp(P), Psi;

—    wektor a, to mówimy, że w zbiorze X zostało określone pole wektorowe a = a(P), PeX.

Jeżeli P jest punktem trójwymiarowej przestrzeni z ortokartezjańskim układem współrzędnych Oxyz, to pole skalarne i wektorowe jest funkcją trzech zmiennych x,y,z, co można zapisać następująco:

V = tp(x,y,z), a(P) = [a_x(x,y,z), a_y(x,y,z), a₂(x,y,z)]

Jeżeli istnieją pochodne cząstkowe funkcji ip(x,y,z) w zbiorze X, to gradientem pola skalarnego nazywa się pole wektorowe

dtp dtp 8(p _dx ’ 8y ’ dz

o zapisie a = grad ip

W tym przypadku funkcję <p nazywa się potencjałem skalarnym pola wektorowego a. Potencjał skalarny pola wektorowego a = [a_x, a_y,a.j można obliczyć ze wzoru

<p{x,y,z) = cp(x₀,y₀,z₀) + J a_x(x,y,z)dx+ § a_y(x₀,y,z)dy+ \ a_:(x₀,y₀,z)dz