Matematyka 2 B1

420 VI Flrnu nty \tan Myt, i munmtlheżthy

ilcl i ^r

,4.9,    ^

i=l

gdy wartość oczekiwana p=EX jest znana.

Wykazuje się, >c I) wszystkie wariancje SjJ. Sf. S' są zgodnymi estymatorami wariancji er - VarX. 2) wariancje S3 i S[ są nieobciążo-nymi estymatorami wariancji a' ES^a*. fS;-a^: nuiomiasi war tanem S* test asymptotycznie nieohciążanym estymatorem wariacji a"

gdy n-»x

n    * *

Estymatory odchylenia standardowego cr=DX, pochodne od estymatorów wariancji (4 7). (4.8) i (4.9). to: odęli)lenie standardowe S PLP, skorygowane odchylenie standardowe S, PI.P oraz odchylenie standardowe S_l( PLP (gdy p jest znane) określone wzorami:

tkf “'    tlcl f    Ócf r -

S=VS^ł. S, = ^Sf. Sn - V^S". gdzie S^:,Sf.S^ dane wzorami (4.7), (4.8). (4.9),

Zadania do rozwiązania.

1    Niech (X,,X,,X_W\J będzie PI P ze względu na cechę X Niech p=EX i (T*=VarX. Spośród statystyk

M; =-^(X| + X₄ ). Pj =-^(2X| 4-2X3 -+*Xi -X ,).

Pj =^(X| tXi -t-Xj ),    p.| -^(X, X2 + X 1 4X4)

wybrać: a) estymatory nicobeiążone parametru p, b) najefektywniejszy estymator spośród nieohciążonych.

2    Znaleźć związek między statystykami S^: i Sj (por. (4.7) 1 (4.8)).

3    a) Wykazać nieobeiążonośe estymatorów wariancji: S11S:: b) znaleźć obciążenie estymatora S¹.

4. a 1 Jak nazwać liczby x. s\ s otrzymane w zadaniu 4 w paragrafie 3; b) wyznaczyć sf i s dla danych w zadaniu 4 w paragrafie 3.

5 Rozwużumy masy 50-meirowych odcinków przędzy produkowanej w ustalonych. niezmiennych warunkach. Wszystkie takie odcinki stanowili populację generalną. Niech u oznacza średnią masę takiego odcinka, czyli p=EX, gdzie X oznacza rozważaną lu cechę -masę poszczególnych odcinków. Zważono 7 takich 50-metrowych odcinków i otrzymano w (gramach): 2,73: 3.11. 2.95: 2.78: 2,85; 3,03, 2,90. Wyniki te stanów ią próbkę. Na podstaw ie tej próbki wy znaczyć oszacowanie nieznanej wartości oczekiwanej p, wykurzy stując średnią arytmetyczną i estymator (4.6).

Odpowird/I

I ■> fi,, ikj. a₄. WlU    j

n—i    n

4 h^: * 12.99: sj * 13.08. s, * 3.62

5. ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA.

POJĘCIE PRZEDZIAŁU UFNOŚCI Rozważamy, jak w ostał-nim paragrafie, cechę X o rozkładzie zależnym od parametru U Chcemy

go eslymować. Jednak tym razem z parametrem 0 będziemy wiązać nic

*

jedną statystykę 0_n lecz parę statystyk (i, i G_;.

Niech zatem (X|,X_:.—,X„) będ/ie PLP cechy X. Niech u oznacza ustaloną liczbę z pr/edzialu (U. 11, w praktyce raczej bliską zera. Gdy

istnieją statystyki G, = h,(X,₁X>.....X_n;a), G₂ = h₂(X,,X2,...,X_n;a)

zależne również od u. takie, że

(5 I)    P(G,<e<G₂)=l-u.

to przedział losowy (G,.G_:) nazywa się przedziałem ufności ze współczynnikiem ufności l-a dla parametru 0

Równość (5.1) czytamy: pr-stwo pokrycia przedziałem (G,,G₂) wartości 0 jest równe 1-u. Podkreślamy pr-stwo 1-u w równości (5.1) należy wiązać nie z parametrem 9 (który' nie jest przecież ZL, lecz po prostu nieznaną stalaj. ale z losowymi końcami G, i G_: