Matematyka 2 B9

428 VI. EJcniL-nn statystyki miiiemancziiej

6. WSTĘPNE POJĘCIA WERYFIKACJI HIPOTEZ.

W tym i dwu następnych paragrafach krotko omówimy drugą, obok estymacji, formę wnioskowania statystycznego - weryfikację hipotez.

HlPOlEZN STATYSTYCZNE Hipotezą statystyczną (krócej: hipotezą) nazywa się każde przypuszczenie dotyczące nie w pełni znanego rozkładu pr-stwa cechy X. gdy prawdziwość tego

przypuszczenia jest weryfikowana na podstawie próbki (X|.x_;.....x_n) tej

cechy X.

Hipotezę, która orzeka o wartościach parametrów rozkładu cechy X, gdy znana jest postać tego rozkładu (lub dostępna jest próbka o dużej liczności), nazywa się hipotezą parametryczną. Hipotezę. która nie jest parametryczna nazywamy hipotezą nieparametryczną

Zc względu na to, w jakim stopniu hipoteza określa rozkład cechy X, rozróżnia się hipotezy proste i hipotezy złożone. Hipoteza, która całkowicie określa rozkład pr-stwa cechy X nazywa się hipotezą prostą Hipoteza, która nie jest prosta nazywa się hipotezą złożoną.

P R Z Y K L A D b.l .ił Niech X oznacza liczbę zgłoszeń w centrali telefonicznej w przedziale czasu długości t / dotychczasowych liadan wiadomo, ze cecha X mu rozkład Poissona z parametrem >.i. nic wuność a mc jest znunn. Sttiwwmy przypuszczenie >.-3. Przypuszczenie to jest hipoteza statystyczną ll(>.-3). jest to pcosta hipoteza parametryczna.

h| punę juk wyżej. Stawiamy pr/.ypus/c/umc: >.>3. Pr/ypiis/c/enic IiijcnI /łożoną hipotezą parametryczną

e) Niech \ o/nac/u liczbę itileresartluw w ciągu god/my w kasie biletowej. / dotychczasowych, licznych obserwacji wiadomo, zc w ciągu godziny zgłasza się prze cielnie 20 interesantów. Stawiamy hipotezę II (\ mu ru/klnd Puiwuiu). Ilipole/a tu dotyczy postaci rozkładu którego wuność przeciętna jest znana EX=>.=20 Jot to prosta hi-[uite/u nieparametryczna.

d) Cecha X jak w punkcie c). Wiadomo. Zc liX>20. Stawiamy hipotezę H (Cecha X ma rozkład Poissona), Jest to złożona hipoteza nieparametryczna.    M

Zwykle rozważa się dwie wzajemnie wykluczające się hipotezy: hipotezę zerową H i hipotezę alternatywną H W przypadku hipotez parametrycznych w roli hipotezy alternatywnej H, obieramy tę z dwu hipotez, dla której pragniemy potwierdzenia prawdziwości. Natomiast hipoteza zerowa H„ pełni rolę "hipotezy roboczej", tj hipotezy, która będzie podlegać bezpośredniej weryfikacji. Tylko jedna z dwu hipotez H„ i jest prawdziwa, dlatego odrzucenie hipotez) H„ jest argumentem za przyjęciem hipotezy alternatywnej H_u. Najczęściej hipoteza zerowa jest hipotezą prostą.

Formułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej ilustruje

PRZYKŁAD 6.2. Oprócz innych "pozastatyslycznych" argumentów. chcemy potwierdzenia procedurami statystycznymi. że "przeciętna wytrzymałość 0 materiału wyprodukowanego według nowej technologii jest większa od wytrzymałości 0₀ starego materiału". To przekonanie o wyższości nowego materiału czynimy treścią hipotezy alternatywnej H,(O>0_o). Hipotezę zerową formułujemy następująco

H«(0*0,).    ■

TtST STATYSTYCZNY Weryfikację hipotezy przeprowadza się za pomocą testu .statystycznego (krócej; testu)

Zakładamy, że dysponujemy próbką (x,.x₂.....x„) cechy X; hipo

teza H„ dotyczy rozkładu pr-stwa lej cechy. Testem hipotezy H„ nazywamy regułę postępowania, która próbce (x,,x_2ł...,x_(l) cechy X przyporządkow uje jedną z dw u decyzji: decyzję d„ - odrzucić hipotezę Il₀ (jako fałszywą), decyzję d* - przyjąć lupolczę H„ (jako prawdziwą).

Tost, którym weryfikuje się hipotezę parametryczną (nieparametryczną) nazywa się testem parametrycznym (nieparametrycznym) fest nieparametryczny, którym weryfikuje się hipotezą o posiaci rozkładu, nazywa się testem zgodności.

W wyniku weryfikacji hipotezy H„ danymi testem możemy podjąć poprawną decyzję, ale też (mimo poprawnego testowania) narażeni jesteśmy na popełnienie błędów dwojakiego rodzaju:

1)    błędu pierwszego rodzaju - odrzucenie hipotezy H„, gdy w rzeczywistości (nam nieznanej) jest ona prawdziwa,

2)    błędu drugiego rodzaju - przyjęcie hipotezy ll₀, gdy w rzeczywistości jest ona fałszywa