3582308774

Algebra z geometrią analityczną

Listy zadań na semestr zimowy

_Lista draga - Indukcja matematyczna__

10.    Za pomocą indukcji matematycznej uzasadnić, ze dla każdej liczby naturalnej n zachodzatozsamosci:

a)    1+3 + *** + (2n — 1) = n².

b)    1 + 3 + * * * +• 3""^ł = 2{3ⁿ- 1).

c)    i³ + 2³ + *♦* + n³ =

11.    Metodą indukcji m a tern a tycznej uzas adnić nierównoś ci:

a)    2^D>n²dlan»5;

b) I2 + 22 +    + ^{6 2} - n    ^{n 2 H};

c) nl > 2ⁿ dla n > 4;

d)    (1 + x)ⁿ> 1 + nx dla x > —1 oraz n G N {nierówność Bemoulliego);

e)    nl < (ⁿ)ⁿ dla n > 6:

12.    Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba:

a)    n^s — n jest podzielna przez 5;

b)    8ⁿ + 6 jest podzielna przez 7.

13.    *Uzasadnic, ze n prostych mozepodzielicpłaszezyzne na maksymalnie + 1 obszarów.

14.    Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyrazem a) (2x + y)⁴ ; b) (c - l)⁷ ; c) (x + X)^s ; d) (^Au + </v)⁸-

15.    Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy:

a) ®{W:b)®{n)2^k;c)®©{-l)“. k=0 k=0 k=0

16.    a) W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia {a³ + ^A2)¹³znalezc współczynnik stojący przy a⁵;

Lista trzecia - Geometria analityczna na płaszczyźnie

17.    Niech a = {—2, 3) , b - (1,4) • Wyznaczyć wektor u = 3a — 2 b.

18.    Trójkąt jest rozpięty na wektorach a, b. Wyrazacsrodkowe tego trójkąta przez wektory a, b.

19.    Mech a, b będą wektorami wodzącymi odpowiednio punktów A,B oraz niech punkt P dzieli odcinek AB w stosunku 2:3. Znaleźć wektor wodzący punktu P.

20.    Za pomocą rachunku wektorowego pokazać, ^Ae środki boków dowolnego czworokatatworza wierzchołki równoległoboku.

21.    Wyznaczyć kat, jaki tworzawektory ~ = (1, —2} , v = {6, 3).

22. Równoległobok jest rozpięty na wektorach a = {—3, 4) , b = (1, 2). Wyznaczyć kat ostry miedzy przekątnymi tego równoległoboku.

23.    Długości wektorów a, fc wynos za odpowiednio 3, 5. Ponadto znamy ich iloczyn skalarny oob = —2. Obliczycp o ~ gdzie p - a — b,q= 2a + 3 b.