Orbitalny moment pędu

Pamiętamy, że w modelu atomu Bohra orbitalny moment pędu elektronu miał wartości skwantowane tzn. równe zawsze wielokrotności kreślonej stałej Plancka. Warunek kwantowania orbitalnego momentu pędu elektronu wynika też z rozwiązania równania Schrödingera dyskutowanego przez nas dla atomu wodoropodobnego ale ma on jednak inną postać.

Warunek ten dotyczy dwóch wielkości: kwadratu wektora momentu pędu, L^2 oraz rzutu tego wektora na wyróżnioną w przestrzeni oś Lz, którą umownie nazwiemy osią Z. Warunki te możemy wiec zapisać w postaci
	(4.2.1)

	Wartość bezwzględna orbitalnego momentu pędu elektronu jest wiec określona przez wartości liczby kwantowej l, a rzut wektora na wybraną oś określony jest przez liczbę magnetyczną ml. Dozwolone wartości tych liczb określone są z kolei przez wartość głównej liczby kwantowej n wzorami (4.1.3). Dla zadanej wartości liczby l jest możliwych 2l+1 wartości liczby ml i tyle też jest możliwych ustawień wektora momentu pędu względem wybranej osi. Warunki kwantyzacji nie narzucają jednak żadnych ograniczeń na wartości rzutu orbitalnego momentu pędu na dwie pozostałe osie prostopadłe do osi wyróżnionej. Oznacza to, że kierunek wektora L może się "obracać" wokół osi Z. Jest to zilustrowane na rysunku 4.2.1, gdzie pokazane są dozwolone rzuty wektora orbitalnego momentu pędu na oś Z dla wartości liczby l równej 2. Dla wartości m=+1 pokazane są strzałkami przerywanymi przykłady  innych dozwolonych kierunków.
Rys.4.2.1. Kwantowanie orientacji wektora momentu pędu o długości

Z momentem pędu elektronu w atomie wiąże się jego moment magnetyczny. Rzeczywiście, jeśli elektron znajduje się wciąż w różnych miejscach, to z jego ruchem orbitalnym wiąże się prąd elektryczny którego natężenie obliczamy zgodnie z definicją natężenia prądu, 

(4.2.2)

gdzie przyjęliśmy, że elektron porusza się z prędkością
po orbicie o promieniu
, zaś T jest okresem jego ruchu orbitalnego. Taki krążący elektron jest swego rodzaju obwodem kołowym z prądem, więc możemy zdefiniować jego moment magnetyczny

(4.2.3)

Za I podstawiliśmy tu wyrażenie ze wzoru (4.2.2.), a za S, pole powierzchni koła o promieniu r. Krążący elektron ma oczywiście swój moment pędu równy 

(4.2.4)

gdzie przez m_e oznaczyliśmy masę elektronu. Mnożąc licznik i mianownik wzoru (4.2.3) przez m_e otrzymujemy natychmiast związek pomiędzy  momentem magnetycznym elektronu i jego momentem pędu 

.

(4.2.5)

gdzie przez g oznaczyliśmy wielkość zwaną orbitalnym stosunkiem giromagnetycznym. 

Pamiętając, że moment pędu elektronu L określony jest wzorem (4.2.1) możemy zapisać wyrażenie na skwantowane wartości momentu magnetycznego

.

(4.2.6)

Stałą, którą oznaczyliśmy symbolem
nazywamy magnetonem Bohra. 

 

---