ZADANIE 1.

Dla stacjonarnego procesu y(t)=ax(t)+bx(t-t₀) za pomocą autokorelacji R_xx parametrów a,b i t₀ wyrazić autokorelację R_yy.

ZADANIE 4.

Za pomocą autokorelacji (R_xx i R_yy ), korelacji wzajemnych (R_xy i R_yx ) i wartości oczekiwanych (η_x i η_y), procesów x(t) i y(t) wyrazić autokowariancję procesu z(t)=x(t)+y(t)

ZADANIE 3.

Wyrazić funkcję autokowariancji sygnału z(t)=x(t)+n(t) gdzie n(t) jest szumem białym za pomocą autokorelacji sygnału x(t)-R_xx i wartości oczekiwanych.

ZADANIE 4.

Wrazić za pomocą funkcji autokorelacji (R_x i R_y) i wartości oczekiwanych (η_x i η_y), procesów x(t) i y(t) wyrazić autokowariancję procesu z(t)=x(t)+y(t)

ZADANIE 5.

Parametryzacja i modelowanie sygnałów 2-rzędu.

1.

y(t) = ax(t) + bx(t - t₀)

Ry(τ) = E[y(t)y(t+τ)] = E[(ax(t) + bx(t - t₀))( ax(t+τ) + bx(t - t₀+τ)] = E[a²x(t)x(t+τ) +abx(t)x(t-t₀+τ) + abx(t-t₀)x(t+τ) +b²x(t-t₀)x(t-t₀+τ)] = E[a²x(t)x(t+τ)] +E[abx(t)x(t-t₀+τ)] +E[abx(t-t₀)x(t+τ)] +E[b²x(t-t₀)x(t-t₀+τ)] = a²Rx(τ) + abRx(τ+t₀) + Rx(τ-t₀) +b²Rx(t-t₀)

3.

z(t) = x(t)+n(t) n(t)-szum biały

Cz(τ)=Rz(τ)-ηz(t)η(t+τ)

Rz(τ)=E[(z(t)z(t+τ)] = E[(x(t)+n(t))( x(t+τ)+n(t+τ)] = E[x(t)x(t+τ)+x(t)n(t+τ)+n(t)x(t+τ)+n(t)n(t+τ)] = E[x(t)x(t+τ)]+E[x(t)n(t+τ)]+E[n(t)x(t+τ)]+E[n(t)n(t+τ)]=Rx(τ)+Rn(τ)

η_z(t)= η_x(t)+ η_n(t)= η_x(t)

η_z(t) η_z(t-τ)=η_z²

Cz(τ)=Rx(τ)+R_n(τ)-η_z²

4.

z(t)=x(t)+y(t) η_z=η_x+η_y

Cz(τ)=Rz(τ)-ηz(t)η(t+τ)=E[z(t)z(t+τ)]-η_z(t)η_z(t+τ)=E[(x(t)+y(t))(x(t+τ)y(t+τ)]-(η_x(t)+η_y(t))(η_x(t+τ)η_y(t+τ))= E[x(t)x(t+τ)+x(t)y(t+τ)+y(t)x(t+τ)+x(t+τ)y(t+τ)]-(η_x(t)η_x(t+τ)+η_x(t)η_y(t+τ)+η_y(t)η_x(t+τ)+η_y(t)η_y(t+τ))= E[x(t)x(t+τ)]+E[x(t)y(t+τ)]+E[y(t)x(t+τ)]+E[x(t+τ)y(t+τ)] - (η²_x+η_xη_y+η_yη_x+η²_y) = Rx(τ)+Rxy(τ)+Ryx(τ) + Ry(τ)-η²_x-Rxy(τ)-Ryx(τ)-η²_y=Rx(τ)+Ry(τ)-η²_x-η²_y

---