Ćw. z Techniki Analogowej dla EiT/AiR (sem 2)

Dodatek Zadaniowy z Analizy Operatorowej

Zadanie AIII.1

Oblicz i naszkicuj przebieg prądu w obwodzie z poniższego rysunku, dla
, gdy
i
. Nazwij użyte przez Ciebie metody analizy i objaśnij zakres ich stosowania.

Rozwiązanie

Ponieważ przedstawiona na rysunku sieć jest liniowa skupiona, a obwód powstały po przełączeniu klucza w chwili t=0 jest identyczny z obwodem, w którym płynie prąd dla t<0, więc schemat można znacząco uprościć.

Wobec tego zadanie sprowadza się do wyznaczenia odpowiedzi układu i(t) na wszechtrwający przebieg e(t)=sin 10³ t. W tym celu można posłużyć się metodą wskazów. Metody tej nie można było stosować w obwodzie oryginalnym, ponieważ ulegał on zmianie z chwili t=0. Metoda wskazów znajduje zastosowanie tylko do obwodów działających bez zmian "od zawsze" i z pobudzeniami tylko sinusoidalnymi.

Najpierw należy dla uproszczonego obwodu narysować sieć wskazową.

Natychmiast otrzymujemy

, przy

Transmitancją obwodu H(jω) będzie

H(jω)=Y(jω)=[Z(jω)]^-1

I(jω)=H(jω)⋅E(jω)

W związku z tym odpowiedź układu i(t) można wyznaczyć wg wzoru:

i(t)=|I(jω)| ⋅sin(ωt+arg(I(jω)))

Kładąc E=e^j0=1 otrzymujemy

i(t)=|H(jω)| ⋅sin(ωt+arg(H(jω)))

Zadanie sprowadza się do wyznaczenia H(jω)=[Z(jω)]^-1

Pamiętając że ω=10³ [rad/s] oraz RC=200^-1 [1/s] obliczamy po kolei:

,

,

,

,

,

Rezultat obliczeń przedstawiono na poniższym wykresie.

Zadanie AIII.2

Co to jest obszar zbieżności transformaty Laplace`a. Wyznaczyć ten obszar dla transformaty funkcji
.

Rozwiązanie

Obszar zbieżności transformaty Laplace'a jest to obszar na płaszczyźnie zespolonej odpowiadający zbiorowi wartości zmiennej zespolonej s, dla których całka niewłaściwa
występująca w definicji transformaty Laplace'a funkcji f(t) istnieje i jest zbieżna.

Przyjmując
, gdzie
, zaś
, na mocy liniowości transformacji Laplace'a i podanej definicji obliczamy transformatę F(s) jako różnicę transformat funkcji składowych F₁(s) i F₂(s). Mamy zatem

, przy

i podobnie

, przy
.

Stąd
, przy
(obszar zbieżności musimy wybrać jako iloczyn składowych obszarów zbieżności).

Zadanie AIII.3

Zdefiniować, co nazywamy dystrybucją δ(t). Wymienić i zapisać jej własności. Znaleźć przebieg napięcia u(t) na indukcyjności L przy warunku początkowym i(0^-)=0, gdy płynący przez element L prąd ma przebieg czasowy pokazany poniżej.

Rozwiązanie

Dystrybucja δ(t) to tzw. funkcja impulsowa Diraca, pseudofunkcja którą możemy sobie wyobrazić jako granicę, przy 0, zależnej od parametru  funkcji δ(t,) argumentu t, pokazanej na poniższym rysunku.

Rysunek. Podejście uproszczone, określające δ(t) jako granicę funkcji δ(t,)

Rysunek. Graficzne przedstawienie δ(t)

Sygnał δ(t) nie jest funkcją, choć wiele operacji jest wykonywanych z jego udziałem tak, jakby to była funkcja czasu. Obiekt ten jest obiektem granicznym pewnych ciągów funkcyjnych.

Właściwości dystrybucji δ(t):

• mnożenie δ(t) przez stałą:

0∙δ(t)0, zaś dla a0 jest a∙δ(t)=
,

• związek ze skokiem jednostkowym:

,

• właściwość próbkowania:

jeżeli x(t) jest dowolnym sygnałem to

• właściwość filtracji:

jeżeli x(t) jest dowolnym sygnałem to

• zmiana skali:

,

• parzystość:

δ(-t)=δ(t) ,

• moduł splatania:

jeżeli x(t) jest dowolnym sygnałem to

czyli δ(t) jest modułem operacji splotu.

Część obliczeniowa rozwiązania

Przyjmujemy a=3mA.

Wówczas na podstawie wykresu i(t) danego w zadaniu możemy wyrazić sygnał i(t) za pomocą sumy funkcji jednostkowych (Heaviside'a).

Korzystając z tablicy transformat Laplace'a oraz z następujących własności transformacji:

• przesunięcie w argumencie oryginału (opóźnienie funkcji czasu)

• liniowość

możemy napisać transformatę I(s) = L[i(t)]

.

Dziedzina czasu Dziedzina operatora s

Ponieważ i(0^-)=0 to U(s) = I(s) ^. sL , po podstawieniu I(s) otrzymujemy

Wykorzystując liniowość operatora L możemy wyznaczyć transformatę odwrotną.

u(t) = L^-1[U(s)] = La^.[δ(t) - δ(t-1) + δ(t-2,5) - δ(t-4,5) + 2^.1(t-5,5) - 2^.1(t-6) - δ(t-7)]

Strzałka z liczbą d wewnątrz nawiasu zwykłego ulokowana w punkcie t₀ osi t oznacza dystrybucję d∙δ(t-t₀); warto długość strzałki rysować proporcjonalną do |d|.

Zadanie AIII.4

Co to jest odpowiedź impulsowa sieci. Pewna sieć o odpowiedzi impulsowej
została pobudzona przebiegiem
. Znajdź odpowiedź y(t) sieci na sygnał x(t).

Rozwiązanie

Odpowiedź impulsowa obwodu.

Dla obwodu opisywanego transmitancją H(s) transformata Laplace'a odpowiedzi Y(s) dla zerowych warunków początkowych i jednego wymuszenia jest iloczynem transmitancji i transfor­maty Laplace'a wymuszenia X(s). Własność L[x(t)*y(t)]= L[x(t)] ^. L[y(t)] transformacji Laplace'a wskazuje, że w dziedzinie czasu oblicznie odpowiedzi y(t) sieci sprowadza się do splotu wymuszenia x(t) i funkcji h(t) będącej odwrotną transformatą Laplace'a transmitancji H(s) sieci :

Odwrotna transformata Laplace'a transmitancji sieci to odpowiedź tej sieci na impuls Diraca. Jest ona nazywana krótko - odpowiedzią impulsową sieci.

Rzeczywiście tak jest:

Granice całkowania możemy dobierać w zależności od postaci funkcji f(t) i h(t).

a)

, x(t) i h(t) mają postacie ogólne

b)

, x(t) ma postać ogólną, a h(t) jest przyczynowa

c)

, x(t) ma postać przyczynową, lecz h(t) ma postać ogólną

d)

, zarówno x(t) jak też h(t) są funkcjami przyczynowymi

Część obliczeniowa rozwiązania

Odpowiedź impulsowa wynosi h(t)=1(t)e^-αt , α >0, a wymuszenie jest sinusoidalne:
.

Korzystając z definicji odpowiedzi impulsowej mamy

y(t) =

Ponieważ x(t) ma postać ogólną, a h(t) jest przyczynowa to

Na początku rozwiążmy przez części całkę nieoznaczoną

Po przeniesieniu na drugą stronę ostatniego czynnika otrzymujemy

Wracamy do całki oznaczonej

W ramach wyjaśnienia zero pomnożone przez funkcję ograniczoną np. sinus daje w wyniku zero.

Odp.

Uwaga.

Zadanie można rozwiązać w sposób znacznie prostszy, korzystając z wiedzy o przekształcaniu widma sygnału okresowego przez system liniowy. Sprowadza się ono wtedy do zastosowania zależności

,

gdzie

.

Czytelnikowi polecamy rozwiązanie zadania również tym sposobem.

Zadanie AIII.5

Oblicz i na­szki­cuj przebieg napięcia u(t) w obwodzie przedstawionym obok. Komentuj tok obliczeń.

Rozwiązanie

Oto przebieg e(t)

Dla t<0 mamy e(t)=-1 i stan ustalony. W tym przypadku w obwodzie występuje źródło napięciowe (E=-1V - napięcie stałe), a więc spadek napięcia u(t) na rezystorze wynosi

u(t)=-1V (cewka w obwodzie prądu stałego stanowi „drut”).

Dla t ≥0 mamy zmianę sytuacji i musimy przeanalizować stany przejściowe.

W chwili t=0 następuje skok napięcia zasilania o 2V, dalej mamy klasyczną jedynkę Heaviside'a.

Warunki początkowe:

Operatorowy schemat zastępczy dla sytuacji w sieci, gdy t≥0:

Korzystając z tablic transformat Laplace'a możemy napisać:

Stosując rozkład na ułamki proste otrzymujemy:

Wyznaczając transformatę odwrotną L ^-1[U(s)] (korzystamy z tablicy transformat Laplace'a) otrzymujemy:

u(t) = [1-2e^-t]1(t) dla t≥0.

Ostatecznie przebieg u(t) wygląda następująco:

Zadanie AIII.6

Jak jest zdefiniowany splot sygnałów przyczynowych? Obliczyć splot funkcji
z funkcją
. Sprawdzić wynik stosując przekształcenie Laplace`a i korzystając z odpowiednich własności tego przekształcenia.

Rozwiązanie

Splotem dwu funkcji (sygnałów, niekoniecznie przyczynowych) f₁(t) i f₂(t) całkowalnych w przedziale (-∞,∞ ) nazywamy, o ile istnieje, funkcję:

i oznaczamy f₁*f₂ .

Granice całkowania możemy “dobierać” w zależności od postaci funkcji f₁(t) i f₂(t).

a)

, f₁(t) i f₂(t) mają postacie ogólne

b)

, f₁(t) ma postać ogólną, a f₂(t) jest przyczynowa

c)

, f₁(t) ma postać przyczynową, lecz f₂(t) ma postać ogólną

d)

, zarówno f₁(t) jak też f₂(t) są funkcjami przyczynowymi

Obliczenia

Dane są funkcje:

Wykorzystując powyższy wzór (podpunkt d).) obliczmy ich splot.

Ponieważ
jest różne od zera tylko dla
, zaś
jest różne od zera tylko, gdy
, więc iloczyn podcałkowy w wyrażeniu splotowym jest na pewno zerowy dla
.

A więc:

Sprawdzenie

W tym celu zastosujemy następujące twierdzenie:

Jeżeli istnieją transformaty L[f₁(t)] i L[f₂(t)], to zachodzi następujące twierdzenie Borela:

L[f₁(t)*f₂(t)]= L[f₁(t)] ^. L[f₂(t)]

Sprawdzamy czy dla

f₁(t)*f₂(t)= f(t)=
,
,

zachodzi

L[f(t)] =L[f₁(t)] ^. L[f₂(t)].

Obliczamy kolejno:

L[f₁(t)] =
, L[f₂(t)]=
, L[f(t)]=
.

Zatem rzeczywiście zachodzi

L[f₁(t)*f₂(t)]= L[f₁(t)] ^. L[f₂(t)],

co świadczy o poprawnym policzeniu splotu.

Zadanie AIII.7

Obliczyć transformatę Laplace`a sygnału
gdy f<sub>T</sub> wygląda jak na rysunku. Wymienić i sformułować wykorzystane w rozwiązaniu własności przekształ­cenia Laplace`a.

Rozwiązanie

Zadanie sprowadza się do udowodnienia L wzoru na transformatę funkcji okresowej, ciągłej, o okresie T:

,

gdzie F_T(s) jest transformatą funkcji f(t) ograniczonej do przedziału [0,T).

Rozpatrzmy funkcję
i utwórzmy skończony szereg funkcyjny
. Na mocy liniowości transformacji Laplace'a mamy:

,

gdzie ostatnia równość wynika z twierdzenia o transformacie funkcji opóźnionej.

Zauważmy teraz, że

L
L
.

Ostatnia równość jest prawdziwa tylko i wyłącznie przy założeniu zbieżności powstałego szeregu geometrycznego.

Zadanie AIII.8

Co nazywamy transmitancją operatorową obwodu? Oblicz transmitancję operatorową dla sieci z poniższego rysunku, gdy pobudzeniem jest prąd i₁(t), a odpowiedzią napięcie u₂(t).

Rozwiązanie

Transmitancją operatorową H(s) obwodu nazywamy stosunek transformaty odpowiedzi do transformaty pobudzenia przy zerowych warunkach początkowych w obwodzie:

Natomiast gdy:

(1)

(2)

Transmitancja operatorowa naszego układu wyraża się zależnością:

Korzystając z właściwości (1) oraz (2) transmitancję układu obliczymy gdy pobudzenie:

i₁(t) = δ(t) → I₁(s) = 1

Wówczas:

Przy wyznaczaniu H(s) korzystaliśmy z dzielnika prądowego, jaki stanowią rezystor R oraz kondensator C.

W dziedzinie czasu odpowiedź impulsowa obwodu ma postać:

Zadanie AIII.9

Zadanie do samodzielnego rozwiązania.

Oblicz i naszkicuj przebieg napięcia u(t) w poniższym obwodzie. Nazwij ważniejsze kroki postępowania. Narysuj modele operatorowe elementów występujących w analizowanym obwodzie dla przypadku niezerowych warunków początkowych.

Zadanie można rozwiązać bardzo prosto, korzystając z faktu, że u_L(t)=L ⋅ [pochodna dystrybucyjna przebiegu i_L(t)]. Polecamy ten sposób Czytelnikowi, po zapoznaniu się z rozwiązaniem tu przedstawionym, bardziej złożonym..

Wymiar wielkości ulokowanej wewnątrz tego nawiasu zwykłego jest równy iloczynowi wymiarów wielkości z osi pionowej i wielkości z osi poziomej wykresu.

Zadania z Przedmiotu Obwody i sygnały Stany nieustalone AIII1-AIII9 © C. Stefański

3_ZadaniaOpAnObwAIII1_AIII9.doc 57

Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

(-3) (-3) (-3)

(3) (3)

0 1 2 3 4 5 6 7 t [s]

6

u(t) [nV]

3

i(t) L=1μH

u(t)

I(s) sL L^.i(0^-)

U(s)

0 1 2,5 4,5 5,5 6 7 t

3 mA

i(t)

A B C D E F

Pole_pod_δ(t)=

δ(t)

∞

0

t

t

ε

0

ε ^-1

δ(t,ε)

Pole­_pod_δ(t,ε)=ε∙ε ^-1 = 1

=
=
=Pole_pod_δ(t)

0 1 2,5 4,5 5,5 6 7 t

3 mA

i(t)

i(t) L=1μH

u(t)

1[H]

1[]

u(t)

e(t)=-1+2 ^1(t)

1

e(t)

t

-1

L^.i_L(0^-)

R

E(s)

U(s)

I(s)

sL

f_T(t)

T t

Wskazówka:

Przyjąć, że L(f_T(t))=F_T(s), a także, że f(t) istnieje i jest L-transformowalna

L₁

i₁(t) C₁

C₂

C

R u₂(t)

eeeeeee

R₁

R R

sin 10³t

C

i(t)

sin 10³t

t=0

e^j0

R

I(j)

(jC)^-1

L L

R R u(t)

R

M=0,5 L

---