1

1

Metody probabilistyczne

Metody opisu struktury zbiorowości

Miary asymetrii i koncentracji

2

Analiza opisowa struktury zjawisk masowych

Miary asymetrii

charakteryzują



rodzaj i stopień odstępstwa od symetrii rozkładu badanej cechy,



czy przeważająca liczba jednostek tworzących badaną zbiorowość
ma wartości cechy wyższe czy niższe od przeciętnego poziomu.

2

3

Miary asymetrii

Miary asymetrii

Miary pozycyjne

Miary klasyczne

wskaźnik

skośności

współczynnik

skośności

wskaźnik

skośności

współczynik

asymetrii

współczynik

skośności

4



Najprostszą miarą asymetrii jest wskaźnik skośności (W

s

lub W

Q

).



Dla miar klasycznych

jest to różnica pomiędzy średnią arytmetyczną i

modalną.



Dla miar pozycyjnych

badamy odległości obu kwartyli od mediany.



wielkością mianowaną,



określa

jedynie kierunek asymetrii

,



nie informuje o jej sile

– gdyż jest wielkością nieunormowaną

Wskaźnik asymetrii - skośności
(W

s

lub W

Q

)

o

s

M

x

W







 



e

I

e

e

Q

M

Q

Q

Q

M

M

Q

W

















2

3

1

3

3

5

Kierunek asymetrii rozkładu



Rozkład symetryczny badanej cechy,



średnia jest równa modalnej,



wskaźnik skośności jest równy zero.



Rozkłady niesymetryczne badanej cechy różnią się między sobą



kierunkiem i



siłą asymetrii.

0







o

s

M

x

W

6

Kierunek asymetrii rozkładu

Rozkład niesymetryczne badanej cechy -

asymetrią rozkładu

.

Dla miar klasycznych:



asymetria lewostronna, gdy:



asymetria prawostronna, gdy:

Dla miar pozycyjnych

będzie to:



asymetria lewostronna, gdy:



asymetria prawostronna, gdy:

0







o

s

M

x

W

0







o

s

M

x

W



 



0

1

3











Q

M

M

Q

W

e

e

Q



 



0

1

3











Q

M

M

Q

W

e

e

Q

4

7

Kierunek asymetrii rozkładu

Asymetria prawostronna
Dominują wartości mniejsze
od średniej

Asymetria lewostronna
Dominują wartości większe
od średniej

0







o

s

M

x

W

0







o

s

M

x

W

8

f

i

A

B

C

1

2

2

2

1

4

5

7

1

6

7

8

1

8

8

8,5

1

10

10

9,5

1

12

11

10

1

14

13

11

1

16

16

16

śr

9

9

9

odch

4,90

4,47

3,94

V

0,54

0,50

0,44

R

14

14

14

Q

1

5

6

7,5

Me

9

9

9

Q

3

13

12

10,5

Q

4

3

1,5

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

f

i

x

i

Zbiorowość A

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

f

i

x

i

Zbiorowość B

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

f

i

x

i

Zbiorowość C

5

9

Współczynniki asymetrii A

s

A

Q

miary przybliżone



Dla porównania

kierunku i siły asymetrii

w dwóch lub więcej

zbiorowościach stosujemy współczynniki asymetrii.



dla miar klasycznych



dla miar pozycyjnych

s

M

x

A

o

s







 





 



Q

M

Q

Q

Q

Me

Me

Q

Q

Me

Me

Q

A

e

Q

2

2

3

1

1

3

1

3























10

Współczynniki asymetrii – A



Dla miar klasycznych

gdzie: s

– odchylenie standardowe

m

3

– moment standaryzowany rzędu trzeciego



szeregi szczegółowe



szeregi rozdzielczy punktowy



szeregi rozdzielczy przedziałowy

3

3

s

m

A















n

i

i

x

x

n

m

1

3

3

1













k

i

i

i

f

x

x

n

m

1

3

3

1













k

i

i

i

f

x

x

n

m

1

3

3

1



6

11

Kierunek i siła asymetrii

Kierunek asymetrii

Siła asymetrii

Rozkład

A, A

s

=0 - symetria

symetryczny

A, A

s

>0 - prawostronna

A, A

s

≈ 0 brak lub słaba

prawoskośny

A, A

s

<0 - lewostronna

A, A

s

→ 1 - silna

lewoskośny

A, A

s

≥ 2 - ekstremalnie silna

skrajnie asymetryczny



Siłą asymetrii:



0

– brak skośności,



0-

0,33 mówimy o małej skośności (niewyraźnej);



0,34-0,66

– średnia skośność,



0,67-

1 duża skośność (wyraźna),



1-

funkcyjna skośność.

12

Miary asymetrii -

przykład

klasa

stawka godzinowa

[zł/godz.]

liczba pracowników (f

i

)

i

x

0i

x

1i

firma A

firma B

firma C

1

2

4

15

15

20

2

4

6

30

105

50

3

6

8

60

75

50

4

8

10

30

75

70

5

10

12

15

30

10



suma

150

300

200

średnia

7

7

7

wariancja

4,47

4,47

4,47

odchylenie standardowe

2,11

2,11

2,11

odchylenie standardowe

(popr Shepparda)

0,33

0,33

0,33

7

13

Miary asymetrii -

przykład

15

15

20

30

105

50

60

75

50

30

75

70

15

30

10

0

20

40

60

80

100

120

firma A

firma B

firma C

[2;4)

[4;6)

[6;8)

[8;10)

[10;12)

14

Miary asymetrii -

przykład



przykładowe obliczenia dla firmy C

5

1

5

8

7

,

,













o

s

M

x

W

34

0

2

7

2

86

8

2

5

2

3

1

,

,

,

,





















e

Q

M

Q

Q

W

71

0

11

2

5

1

,

,

,













s

M

x

A

o

s

09

0

83

1

2

34

0

2

2

3

1

,

,

,



















Q

M

Q

Q

A

e

Q

Dane z wcześniejszych
obliczeń:
• M

o

= 8,5

• M

e

= 7,2

• Q

1

= 5,2

• Q

3

= 8,86

• s = 2,11
• = 7,0

x

8

klasa

Stawka

[zł/godz.]

środek

klasy

obliczanie m

3

we współczynniku

asymetrii (firma C)

i

x

0i

x

1i

f

i

1

2

4

3

20

-4

-64

-1280

2

4

6

5

50

-2

-8

-400

3

6

8

7

50

0

0

0

4

8

10

9

70

2

8

560

5

10

12

11

10

4

64

640



suma



200





-480

s=2,11

15

Miary asymetrii -

przykład

i

x

x

x

i









3

x

x

i









i

i

f

x

x

3





 

25

0

11

2

200

480

3

3

3

,

,

/











s

m

A

Obliczanie współczynnika asymetrii (A)

16

Miary asymetrii -

przykład

firma A

firma B

firma C

modalna

7

5,5

8,5

kwartyl I

5,5

5,14

5,20

kwartyl II (mediana)

7

6,8

7,2

kwartyl III

8,5

8,8

8,86

odchylenie ćwiartkowe

1,5

1,83

1,83

wskaźnik skośności (klas.)

0

1,5

-1,5

wskaźnik skośności (pozyc.)

0

0,34

-0,34

współcz. skośności (klas.)

0

0,71

-0,71

współcz. skośności (pozyc.)

0

0,09

-0,09

współcz. asymetrii (A)

0

0,25

-0,25

(licznik A, tj. m

3

)

0

2,4

-2,4

9

17

Miary asymetrii -

przykład

Struktura płac

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

2

4

6

8

10

12

stawka [zł/godz]

c

zę

s

to

ś

ć

firma A

firma B

firma C

18

Miary koncentracji i spłaszczenia

Zjawisko

koncentracji może być rozważane jako

nierównomierny podział ogólnej sumy wartości cechy pomiędzy

poszczególne jednostki badanej zbiorowości

Istnieje ścisły związek
pomiędzy koncentracją a
rozproszeniem:
im mniejsze rozproszenie
tym większa koncentracja.
I na odwrót .

10

19

Miary koncentracji

Do oceny stopnia koncentracji stosujemy dwie metody.



Metoda numeryczna

– wyznaczanie odpowiednich wskaźników

liczbowych:



współczynnik skupienia inaczej kurtoza,



współczynnik koncentracji Lorenza.



Metoda graficzna

– wykreślanie i analiza tzw. krzywej koncentracji

Lorenza

20

Współczynnik skupienia (kurtoza)



Dla miar klasycznych

.

gdzie: s

– odchylenie standardowe

Wyznaczanie wartości momentu centralnego m

4



szereg szczegółowy



szereg rozdzielczy punktowy



szereg rozdzielczy przedziałowy

4

4

s

m

K















n

i

i

x

x

n

m

1

4

4

1













k

i

i

i

f

x

x

n

m

1

4

4

1













k

i

i

i

f

x

x

n

m

1

4

4

1



EXCEL
=KURTOZA(liczba1;liczba2, …)

11

21

Współczynnik skupienia (kurtoza)



Dla miar pozycyjnych



gdzie:
D

1

– decyl rzędu 1

D

9

– decyl rzędu 9

)

(

*

2

1

9

1

3

D

D

Q

Q

K

p







rozkład

spłaszczony

rozkład

normalny

rozkład

wysmukły

K < 3

K = 3

K > 3

K

p

> 0,263

K

p

= 0,263

K

p

< 0,263

22

Współczynnik ekscesu K’

Współczynnik ekscesu



Kurtoza w rozkładzie normalnym jest zawsze równa trzy (K=3).



W praktyce policzoną kurtozę porównujemy z kurtozą rozkładu normalnego.

I tak jeżeli:



K>3 -

rozkład badanej cechy jest wyższy i smuklejszy od rozkładu

normalnego



K<3 -

odwrotnie; niższy i bardziej rozłożysty



K’>0

-

rozkład badanej cechy jest wyższy i smuklejszy od rozkładu

normalnego



K’<0

-

odwrotnie; niższy i bardziej rozłożysty

Zjawiska społeczne, gospodarcze, przyrodnicze są najczęściej opisywane tzw.

rozkładem normalnym.

3

4

4





s

m

K'

12

23

Współczynnik ekscesu K’ - przykład

klasa

Stawka

[zł/godz.]

środek

klasy

obliczanie m

4

w kurtozie (firma A)

i

x

0i

x

1i

f

i

1

2

4

3

15

-4

256

3840

2

4

6

5

30

-2

16

480

3

6

8

7

60

0

0

0

4

8

10

9

30

2

16

480

5

10

12

11

15

4

256

3840



suma



150





8640

s=2,11

 

4

2

11

2

150

8640

4

4

4

,

,

/







s

m

K

K<3 -

koncentracja wokół średniej stawki

godzinowej w firmie A jest mniejsza niż w przypadku

rozkładu normalnego (diagram jest niższy i bardziej

rozłożysty niż w rozkładzie normalnym);

rozproszenie jest większe niż w rozkładzie

normalnym.

 

6

0

3

11

2

150

8640

3

4

4

4

,

,

/

'













s

m

K

i

x

x

x

i









4

x

x

i









i

i

f

x

x

4





24

Krzywa koncentracji Lorenza



opisuje stopień koncentracji
(nierównomierności podziału globalnego zasobu cechy)
jednowymiarowego

rozkładu zmiennej losowej o wartościach

nieujemnych.



często wykorzystywana w ekonometrii do liczbowego wyrażania
koncentracji kapitału, nierównomierności zarobków, koncentracji
sprzedaży (np.20% sklepów sprzedaje 80% produktów, 10% firm
przewozi 85% towarów)



ma również zastosowania w ekologii.



zawiera się w kwadracie jednostkowym, przy czym jej końce to dolny
lewy i górny prawy wierzchołek kwadratu



pole pomiędzy nią a przekątną kwadratu nazywane jest wskaźnikiem
Giniego.

13

25

Krzywa koncentracji Lorenza

Kwadrat, w którym rysujemy krzywą

Lorenza, ma powierzchnię

100x100=10000

Im większa jest powierzchnia

pola (a), tym większa jest

koncentracja w badanym

zjawisku.

a

z

isk

[%]

w

isk

[%]

linia równomiernego

podziału

wskaźnik Giniego

krzywa Lorenza

a

z

isk

[%]

w

isk

[%]

linia równomiernego

podziału

wskaźnik Giniego

krzywa Lorenza

26

Krzywa koncentracji Lorenza

Krzywą koncentracji Lorenza rysujemy wykorzystując:



dane pogrupowane są w szereg rozdzielczy przedziałowy,



skumulowaną częstość dla liczebności (w

i sk

),



skumulowaną częstość dla wartości cechy (z

i sk

);

wartość cechy obliczamy w każdej klasie jako iloczyn f

i

*z

i

(tak jak

przy liczeniu średniej),



często obie częstości wyrażamy w %.

Wykres krzywej Lorenza:



dla każdej klasy wyznaczamy punkt o współrzędnych (w

i sk

,z

i sk

).



następnie łączymy te punkty odcinkami.



punkt (w

1_sk

,z

1_sk

) łączymy dodatkowo z punktem (0 , 0).

14

27

Współczynnik koncentracji Lorenza

Koncentracja całkowita

Koncentracja słaba

Brak koncentracji

Koncentracja duża

KL=1

KL=0,1

KL=0,7

KL=0

28

Współczynnik koncentracji Lorenza



współczynnik koncentracji Lorenza (KL) -

liczbowo siła

koncentracji. Jest on równy stosunkowi pola (a) do pola powierzchni

połowy kwadratu (5000):



Ponieważ łatwiej jest policzyć pole (b), to pole (a) wyznaczamy

z różnicy = 5000-b.



Pole (b) jest sumą pól trapezów prostokątnych (dla pierwszej klasy jest to

trójkąt prostokątny).



Ostateczny wzór na współczynnik koncentracji Lorenza (KL) ma postać:



KL



1 -

silna koncentracja (rozkład leptokurtyczny)



KL



0 -

słaba koncentracja (rozkład platokurtyczny)



Generalnie, jeżeli będzie skrajna asymetria to koncentracja zawsze

wystąpi.

5000

a

KL



5000

1

5000

5000

b

b

KL









15

29

Współczynnik koncentracji Lorenza - przykład





2

z

z

w

sk

1

i

sk

i

i







Liczba

ludności

[w 10

tys.]

Liczba

gmin

Ludność

w

gminach

Odsetek

gmin

[%]

Odsetek

ludności

[%]

Skumul.

odsetek

gmin [%]

Skumul.

odsetek

ludności

[%]

Obliczanie

pola (b)

Rodzaj

figury

x

i

f

i

z

i

=x

i

f

i

w

i

z

i

w

i_skum

z

i_skum

< 2

10

15

0,5

0,07

0,5

0,1

0,016 trójkąt

2 – 5

220

685

11,0

2,98

11,5

3,0

17,098 trapez

5 – 7

500

3400

25,0

14,78

36,5

17,8

260,870 trapez

7 – 10

770

6600

38,5

28,70

75,0

45,6

1238,696 trapez

10 - 20

300

4500

15,0

19,57

90,0

66,1

844,565 trapez

> 20

200

7800

10,0

33,91

100,0

100,0

732,609 trapez

suma

2000

23000

100,0

100,0

3093,853

11,5

x

3813

0

6187

0

1

5000

8

3093

1

5000

1

,

,

,















b

KL

30

Współczynnik koncentracji Lorenza - przykład





2

z

z

w

sk

1

i

sk

i

i







Liczba

ludności

[w tys.]

Liczba

gmin

Ludność

w

gminach

Odsetek

gmin

[%]

Odsetek

ludności

[%]

Skumul.

odsetek

gmin [%]

Skumul.

odsetek

ludności

[%]

Obliczanie

pola (b)

Rodzaj

figury

x

i

f

i

z

i

=x

i

f

i

w

i

z

i

w

i_sk

z

i_sk

< 2

10

15

0,5

0,07

0,5

0,1

0,016 trójkąt

2 – 5

220

685

11,0

2,98

11,5

3,0

17,098 trapez

5 – 7

500

3400

25,0

14,78

36,5

17,8

260,870 trapez

7 – 10

770

6600

38,5

28,70

75,0

45,6

1238,696 trapez

10 - 20

300

4500

15,0

19,57

90,0

66,1

844,565 trapez

> 20

200

7800

10,0

33,91

100,0

100,0

732,609 trapez

suma

2000

23000

100,0

100,0

3093,853

11,5

x

3813

0

6187

0

1

5000

8

3093

1

5000

1

,

,

,















b

KL

16

31

Współczynnik koncentracji Lorenza - przykład

W obserwowanych

gminach ludność
zamieszkująca rejon
nie miała tendencji do
koncentrowania
zamieszkania.
W gminach o średniej
wielkości 11,5 tys.
mieszkańców

Potwierdzają to:

•mała wartość

współczynnika
koncentracji KL oraz

•słaby „brzuch” krzywej

koncentracji Lorenza

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

sk

umulow

an

e

od

se

tki

lud

no

śc

i

z

i

skumulowane odsetki gmin w

i

Krzywa koncentracji Lorenza - wielobok

koncentracji

32

Podsumowanie



Statystyczna analiza struktury powinna być przeprowadzana

kompleksowo,

tzn. z jednoczesnym uwzględnieniem dużej liczby

parametrów,



Każda grupa charakterystyk opisuje rozkład z innego punktu widzenia
(miary przeciętne, zróżnicowania, asymetrii, spłaszczenia i koncentracji),



Miary klasyczne

stosowane są do opisu struktur rozkładów typowych

(jednomodalnych, o słabej asymetrii, symetrycznych) – są bardziej
dokładne,



Miary pozycyjne

są mniej dokładne – wykorzystuje się je do opisu struktur

rozkładów nietypowych (skrajnie asymetrycznych, bi- lub wielomodalnych, o
otwartych przedziałach klasowych),

17

33

Podsumowanie



Wskaźnik podobieństwa struktur

(w

p

) jest najprostszą miarą

statystyczną pozwalającą ocenić podobieństwo kształtowania się
badanej cechy w dwóch różnych zbiorowościach.



Względny wskaźnik podobieństwa struktur

– do porównywania struktur

różnych zbiorowości:



gdzie: w

1i

,w

2i

– wskaźniki struktury,



Z = 1

– porównywane struktury są identyczne,



Z = 0

-

porównywane struktury są krańcowo odmienne.











k

1

i

i

2

i

1

p

w

w

w

,

min



















k

1

i

i

2

i

1

k

1

i

i

2

i

1

w

w

w

w

Z

,

max

,

min

34

Wskaźnik podobieństwa struktur - przykład

numer

klasy

czas

dojazdu

częstość

A

częstość

B

obliczenia wskaźnika

i

x

0i

– x

1i

w

1i

w

2i

w

pi

=min{w

1i

,w

2i

}

max{w

1i

,w

2i

}

1

5 – 15

0,1

0,05

0,05

0,1

2

15 – 25

0,2

0,1

0,10

0,2

3

25 – 35

0,35

0,15

0,15

0,35

4

35 – 45

0,2

0,2

0,20

0,2

5

45 – 55

0,1

0,4

0,10

0,4

6

55 – 65

0,05

0,1

0,05

0,1

razem



1,00

1,00

0,65

1,35

48

0

35

1

65

0

Z

,

,

,





Wp=0,65