2013-02-27

1

Metody probabilistyczne

Metody opisu struktury zbiorowości

Miary położenia

Analiza opisowa struktury zjawisk masowych

Analiza opisowa

–

pozwala na:



scharakteryzowanie w syntetyczny sposób struktury zbiorowości,



określenie liczbowych charakterystyk, które ułatwiają porównywanie
zjawisk masowych.

Rozkład empiryczny zmiennej

– przyporządkowanie kolejnym

wartościom zmiennej (x

i

) odpowiadających im częstotliwości (n

i

).



są ustalane na podstawie konkretnych danych statystycznych,



odzwierciedlają strukturę badanej zbiorowości z punktu widzenia
wyróżnionej cechy.

2013-02-27

2

Parametry statystyczne

Parametry (charakterystyki) statystyczne:



liczby służące do syntetycznego zwięzłego opisu struktury zbiorowości
statystycznej i prezentacji wyników analizy danych w próbie,



funkcje wartości w próbie, czyli wielkości, które oblicza się na
podstawie zaobserwowanych pojedynczych wyników próby.

Parametry

Miary

położenia

Miary

zmienności

Miary

asymetrii

Miary

koncentracji

Miary położenia

Miary położenia

Miary przeciętne

Miary pozycyjne

Średnia arytmetyczna

Średnia potęgowa

Średnia geometryczna

Średnia harmoniczna

Modalna

Kwantyle

kwartyle

percentyle

decyle

kwintyle

2013-02-27

3

Miary położenia -

średnia arytmetyczna

dla szeregów szczegółowych

gdzie:

-

średnia arytmetyczna zmiennej X,

x

i

-

wartość zmiennej X (i = 1, 2, … n),

n

– liczebność próby.

Przykład:
Liczba osób w kolejce do kasy biletowej:
x

i

= 1,3,3,3,5,5,8

Średnia liczba osób kolejce wynosi 4



















n

i

i

n

x

n

x

x

x

n

x

1

2

1

1

1

...

4

7

28

8

5

5

3

3

3

1

7

1

7

1

























i

i

x

x

x

Miary położenia - średnia arytmetyczna

dla szeregów rozdzielczych punktowych























k

i

i

i

k

i

i

k

k

k

w

*f

x

f

f

...

f

f

f

...x

f

x

f

x

x

1

1

2

1

2

2

1

1

1















k

i

i

i

k

k

w

w

x

w

x

w

x

w

x

x

1

2

2

1

1



lub

gdzie:

f

i

– wagi tzn. liczebności bezwzględne przypadające na dany wariant zmiennej,

w

i

-

wagi tzn. liczebności względne przypadające na dany wariant zmiennej,

2013-02-27

4

Miary położenia - średnia arytmetyczna

dla szeregów rozdzielczych punktowych

Numer

klasy

Liczba osób w

kolejce x

i

Liczebność f

i

f

i

*x

i

Wskaźnik

struktury w

i

w

i

*x

i

1

0

15

=0*15=0

=15/50=0,3

=0,3*0=0

2

1

25

25

0,5

0,5

3

2

6

12

0,12

0,24

4

3

3

9

0,06

0,18

5

4

1

4

0,02

0,08

Suma

50

50

średnia

1

1

50

50





x

Średnia liczba osób kolejce wynosi 1







k

i

i

i

x

f

n

x

1

1

Miary położenia - średnia arytmetyczna

dla szeregów rozdzielczych punktowych

Numer

klasy

Liczba osób w

kolejce x

i

Liczebność f

i

f

i

*x

i

Wskaźnik

struktury w

i

w

i

*x

i

1

0

15

=0*15=0

=15/50=0,3

=0,3*0=0

2

1

25

25

0,5

0,5

3

2

6

12

0,12

0,24

4

3

3

9

0,06

0,18

5

4

1

4

0,02

0,08

Suma

50

50

średnia

1

1



x

Średnia liczba osób kolejce wynosi 1







k

i

i

i

x

w

x

1

2013-02-27

5

Miary położenia - średnia arytmetyczna

dla szeregów rozdzielczych przedziałowych

gdzie:

-

środek przedziału wyliczany następująco:

x

0i

, x

1i

– dolna i górna granica przedziału klasowego

n

f

x

n

f

x

f

x

f

x

x

k

i

i

i

k

k

w















1

2

2

1

1

























k

i

i

i

k

k

w

w

x

w

x

w

x

w

x

x

1

2

2

1

1











i

x

2

1

0

i

i

i

x

x

x







lub

Miary położenia - średnia arytmetyczna
dla szeregów rozdzielczych przedziałowych

i

x

i

i

x

f 

i

w

'
i

i

x

w

Przedział czasu

[min]

Liczba pracowników

f

i

0,5

5,5

20

3

60

0,1

0,3

5,5

10,5

30

8

240

0,15

1,2

10,5

15,5

60

13

780

0,3

3,9

15,5

20,5

70

18

1260

0,35

6,3

20,5

25,5

20

23

460

0,1

2,3

suma

200

2800

14

Przykład:
Obliczenia średniego czasu trwania dojazdu do firmy

14

200

2800

1

1











k

i

i

i

x

f

n

x



Średni czas trwania dojazdu do firmy wynosi 14 min

2013-02-27

6

Miary położenia - średnia arytmetyczna
dla szeregów rozdzielczych przedziałowych

i

x

i

i

x

f 

i

w

i

i

x

w 

Przedział czasu

[min]

Liczba pracowników

f

i

0,5

5,5

20

3

60

0,1

0,3

5,5

10,5

30

8

240

0,15

1,2

10,5

15,5

60

13

780

0,3

3,9

15,5

20,5

70

18

1260

0,35

6,3

20,5

25,5

20

23

460

0,1

2,3

suma

200

2800

średnia

14

Przykład:
Obliczenia średniego czasu trwania dojazdu do firmy

14

x

w

x

k

1

i

i

i











Średni czas trwania dojazdu do firmy wynosi 14 min

Miary położenia - średnia arytmetyczna

dla zbiorowości podzielonej na r podzbiorowości



dla r zbiorowości łącznie

, dla których wyznaczono średnie w

każdej zbiorowości (n

i

liczebność i-tej zbiorowości),



dla r zbiorowości łącznie bez użycia wag

gdzie: r

– liczba prób pobranych z tej samej zbiorowości generalnej











r

i

i

i

r

i

i

w

f

x

f

x

1

1

*

1







r

i

i

x

r

x

1

1

2013-02-27

7

Klasa

Liczność klasy f

i

Średnia ocen

A

25

4,5

112,5

B

35

4

140

C

30

3,5

105

Suma

90

12

357,5

Średnia

4,0

3,97

i

x

i

i

x

f

Przykład: Średnia ocen klas jednego poziomu

Miary położenia - średnia arytmetyczna
dla zbiorowości podzielonej na r podzbiorowości

Klasa

Liczność klasy f

i

Średnia ocen

A

25

4,5

112,5

B

35

4

140

C

30

3,5

105

Suma

90

12

357,5

Średnia

4,0

3,97

i

x

i

i

x

f

Przykład: Średnia ocen klas jednego poziomu

Miary położenia - średnia arytmetyczna
dla zbiorowości podzielonej na r podzbiorowości

2013-02-27

8

Ważniejsze własności średniej arytmetycznej

1.

Suma wartości

cechy jest równa iloczynowi średniej

arytmetycznej i

liczebności populacji, tj.

lub

lub

2.

Średnia arytmetyczna

nie może być mniejsza

od najmniejszej

wartości cechy

ani też większa

od największej jej wartości

3.

Suma odchyleń

poszczególnych wartości cechy od średniej jest

równa zero

lub

lub







n

i

i

x

x

n

1







k

i

i

i

f

x

x

n

1







k

i

i

i

f

x

x

n

1



max

min

x

x

x









0

1









n

i

i

x

x





0

*

1









k

i

i

i

f

x

x





0

*

1









k

i

i

i

f

x

x

4.

Średnią arytmetyczną oblicza się w zasadzie dla szeregów o

zamkniętych klasach przedziałowych.

Można klasy sztucznie domknąć (i policzyć średnią) tylko wtedy,
gdy odsetek jednostek w tych klasach jest niewielki (do 5%).

Gdy ten odsetek jest duży należy stosować miary pozycyjne

zamiast średniej.

Jest

miarą prawidłową dla zbiorowości jednorodnych o

niewielkim zróżnicowaniu wartości zmiennej. W miarę wzrostu

asymetrii i dyspersji rozkładu oraz w rozkładach bimodalnych- i

wielomodalnych do opisu należy wykorzystywać miary
pozycyjne.

5.

Średnia arytmetyczna

jest czuła na skrajne ekstremalne

wartości

cechy.

Wpływ jest większy dla wysokich wartości zmiennej.

Są to wartości cechy dla jednostek nietypowych w badanej

zbiorowości i przypadkowo (niepoprawnie) włączonych do
badanej populacji.

Ważniejsze własności średniej arytmetycznej

2013-02-27

9

17

6.

Średnia arytmetyczna sumy (różnicy) zmiennych

równa się

sumie (różnicy) ich średnich arytmetycznych.

7.

Jeżeli wszystkie wartości zmiennej powiększymy (pomniejszymy,

pomnożymy, podzielimy)

o pewną stałą c

to średnia arytmetyczna

będzie równa sumie (różnicy, iloczynowi, ilorazowi) średniej

arytmetycznej i stałej c,

8.

Średnia arytmetyczna jako wypadkowa wszystkich

zaobserwowanych wartości cechy - jest

wielkością abstrakcyjną

.

W niektórych przypadkach może ona w ogóle nie występować w

zbiorowości

Ważniejsze własności średniej arytmetycznej

x

c

cx

n

i

i





1

Średnia harmoniczna

Zastosowanie:



gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę
innej cechy, czyli w postaci tzw.

wskaźników natężenia

(jednostek

względnych „łamanych”)



prędkość pojazdu [km/godz],



cena jednostkowa [zł/szt],



spożycie [kg/osoba],



gęstość zaludnienia [mieszk/km

2

]

(zmienna - mieszk/km

2

, waga

– liczba mieszkańców itp.)



przeciętny czas na wyprodukowanie jednostki wyrobu,



siły nabywczej pieniądza,



szybkości obrotów pieniężnych,



przeciętna cena towaru za jednostkę pieniężną .

2013-02-27

10

Średnia harmoniczna

Dla szeregu szczegółowego x

1

....x

n

:

gdzie:



x

i

-

wartość i-tego wariantu badanej cechy,



n

– liczebność próby,















n

i

i

n

H

x

n

x

x

x

n

x

1

2

1

1

1

...

1

1

Średnia harmoniczna

Dla szeregu rozdzielczego punktowego:

gdzie:



x

i

-

wartość zmiennej w i-tej klasie badanej cechy,



f

i

-

liczebność i-tej klasy badanej cechy,



m

i

-

wartość i-tego wariantu mianownika badanej cechy,



k

– liczba klas

.





















k

i

i

i

k

i

i

k

i

i

k

i

i

Hw

x

f

f

m

f

x

1

1

1

1

2013-02-27

11

Średnia harmoniczna

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

gdzie:



f

i

-

liczebność i-tej klasy badanej cechy,



m

i

-

wartość i-tego wariantu mianownika badanej cechy,



-

środek przedziału klasowego.





















k

i

i

i

k

i

i

k

i

i

k

i

i

Hw

x

f

f

m

f

x

1

1

1

1



i

x

Średnia harmoniczna - przykład

Kierowca przejechał trasę ze zmienną prędkością.



Odcinek A o

długości 30 km przejechał z prędkością 50 km/godz.



Odcinek B o

długości 81 km przejechał z prędkością 90 km/godz.



Z jaką średnią prędkością pokonał trasę kierowca?



Badaną cechą X jest prędkość wyrażona w [km/godz.]

numer klasy

trasa

[km]

prędkość

[km/godz]

czas

[godz]

i

f

i

x

i

m

i

=f

i

/x

i

1

30

50

0,6

2

81

90

0,9

Suma

111



1,5



 







74

5

1

111

9

0

6

0

111

90

81

50

30

81

30



















,

/

,

,

/

/

/

/

Hw

x





















k

i

i

i

k

i

i

k

i

i

k

i

i

Hw

x

f

f

m

f

x

1

1

1

1

2013-02-27

12

Średnia geometryczna

Dla szeregu szczegółowego x

1

....x

n

:

Zaleca się logarytmowanie wartości:

Stąd:

n

n

i

i

n

n

g

x

x

x

x

x















1

2

1





















n

i

i

n

g

x

n

x

x

x

n

x

1

2

1

ln

1

ln

...

ln

ln

1

ln

g

x

g

e

x

ln



Średnia geometryczna

Dla szeregu rozdzielczego punktowego:

gdzie:

lub w postaci logarytmicznej

n

k

i

f

i

w

g

i

x

x







1

,







k

i

i

f

n

1



















k

i

i

i

k

k

g

w

x

f

n

x

f

x

f

x

f

n

x

1

2

2

1

1

,

ln

*

1

ln

*

...

ln

*

ln

*

1

ln

2013-02-27

13

Średnia geometryczna

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

Zastosowanie:



szczególnie w analizie dynamiki zjawisk,



dla danych o znacznym zróżnicowaniu danych skrajnych.

n

k

i

f

i

w

g

i

x

x







1

,



Średnia geometryczna - przykład

Lata

Wielkość

przewozów

Wzrost przewozów

w stosunku do roku

poprzedniego x

i

ln xi

2001

200

2002

246

1,23

0,20701

2003

283

1,15

0,13976

2004

317

1,12

0,11333

2005

339

1,07

0,06766

1,69514

0,13194

1,14104

1,14104





4

1

i

i

x

4

4

1





i

i

x

g

x





4

1

ln

4

1

i

i

x





4

1

ln

4

1

i

i

x

e

2013-02-27

14

Średnia geometryczna - przykład

Lata

Wielkość

przewozów

Wzrost przewozów

w stosunku do roku

poprzedniego x

i

ln x

i

2001

200

2002

246

1,23

0,20701

2003

283

1,15

0,13976

2004

317

1,12

0,11333

2005

339

1,07

0,06766

1,69514

0,13194

1,14104

1,14104





4

1

i

i

x

4

4

1





i

i

x

g

x





4

1

i

i

x

ln

4

1





4

1

i

i

x

ln

4

1

e

Średnia potęgowa

Dla szeregu szczegółowego x

1

....x

n

:

gdzie: p=1,2, ..., r (p-

potęga)

Zastosowanie:



do obliczania



średniej arytmetycznej ( p=1 ),



odchylenia standardowego ( p=2 ),



momentów centralnych ( p>3 ).



Dla szeregu rozdzielczego
punktowego:



Dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego:

p

n

i

p

i

p

x

n

x







1

1

p

n

i

i

p

i

k

i

i

w

p

f

x

f

x











1

1

,

*

1

p

n

i

i

p

i

k

i

i

w

p

f

x

f

x











1

1

,

*

1



2013-02-27

15

MIARY POZYCYJNE

Modalna, moda (dominanta)

to wartość cechy, która

występuje najczęściej

w badanej

zbiorowości

Zalecenia:



Dane pogrupowane w szereg rozdzielczy

(punktowy lub przedziałowy).



Liczebność populacji powinna być dostatecznie duża.



Diagram lub histogram liczebności - jedno wyraźnie zaznaczone
maksimum (

rozkład jednomodalny).



Dla danych pogrupowanych w szereg rozdzielczy przedziałowy
modalna

nie występuje w skrajnych przedziałach (pierwszym lub

ostatnim) -

przypadek skrajnej asymetrii. Nie da się w takim

przypadku analitycznie wyznaczyć modalnej.



Asymetria

rozkładu liczebności powinna być umiarkowana.



Dla danych pogrupowanych w szereg rozdzielczy przedziałowy

przedział modalnej oraz dwa sąsiednie przedziały (poprzedzający i

następujący po przedziale modalnej) powinny mieć taką samą

rozpiętość.

2013-02-27

16

Modalna, moda (dominanta)

Własności modalnej:



Modalną można wyznaczyć w szeregach

rozdzielczych otwartych

(szereg nie jest zamknięty od dołu i od góry).



Na wartość modalnej

nie mają wpływy wartości skrajne

szeregu

(x

min

oraz x

max

).



W szeregu symetrycznym modalna jest równa wartości średniej

Mo=x

śr

.



Modalna

charakteryzuje jednostki statystyczne o typowym

poziomie zmiennej

, a nie wszystkie badane jednostki.

Modalna, moda (dominanta)

0

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

5

6

0

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

5

6

Histogram szeregu rozdzielczego antymodalngo typu J

0

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

5

6

Histogram szeregu rozdzielczego typu U z

antymodą

2013-02-27

17

Modalna, moda (dominanta)

Histogram szeregu rozdzielczego

dwumodalnego

0

10

20

30

40

50

60

1

2

3

4

5

6

7

0

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

5

6

7

8

Histogram szeregu rozdzielczego

dwumodalnego

dwuwierzchołkowego

Modalna, moda (dominanta) -

przykład

Szereg rozdzielczy punktowy

Numer klasy

Liczba osób w

kolejce x

i

Liczebność f

i

Wskaźnik struktury w

i

1

0

15

0,3

2

1

25

0,5

3

2

6

0,12

4

3

3

0,06

5

4

1

0,02

suma

50

1

2







x

x

M

m

o

Wniosek:

najczęściej występująca liczba osób w kolejce to 1 osoba.

2013-02-27

18

Modalna, moda (dominanta)

szereg rozdzielczy przedziałowy

gdzie:

m -

numer klasy (przedziału) z modalną

x

0m

-

dolny kraniec przedziału modalnej

i

m

-

rozpiętość przedziału modalnej (i

m

=x

1m

-x

0m

)

f

m

-

liczebność przedziału modalnej

f

m-1

(f

m+1

) -

liczebność dla przedziałów sąsiadujących z przedziałem modalnej

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

f

f

f

f

f

f

i

x

M

Modalna, moda (dominanta)

szereg rozdzielczy przedziałowy wykorzystaniem

częstości

(wskaźnika struktury)

gdzie:

m -

numer klasy (przedziału) z modalną

x

0m

-

dolny kraniec przedziału modalnej

i

m

-

rozpiętość przedziału modalnej (i

m

=x

1m

-x

0m

)

w

m

-

wskaźnik struktury przedziału modalnej

w

m-1

(w

m+1

) -

wskaźnik struktury dla przedziałów sąsiadujących z przedziałem

modalnej

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

w

w

w

w

w

w

i

x

M

2013-02-27

19

Modalna, moda (dominanta) -

przykład

szereg rozdzielczy przedziałowy

Przedział

Liczba

pracowników

f

i

x

10

x

11

0,5

5,5

20

0,1

5,5

10,5

30

0,15

10,5

15,5

60

0,3

15,5

20,5

70

0,35

20,5

25,5

20

0,1

suma

200

i

w

833

,

0

5

,

15

60

10

5

5

,

15

20

70

60

70

60

70

5

5

,

15



























o

M

Wniosek:
Najczęściej występujący czas dojazdu pracowników wynosi 16,33 minuty

M

o

=16,333

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

f

f

f

f

f

f

i

x

M

Modalna, moda (dominanta) -

przykład

szereg rozdzielczy przedziałowy

Przedział

Liczba

pracowników

f

i

x

10

x

11

0,5

5,5

20

0,1

5,5

10,5

30

0,15

10,5

15,5

60

0,3

15,5

20,5

70

0,35

20,5

25,5

20

0,1

suma

200

i

w

833

,

0

5

,

15

60

10

5

5

,

15

20

70

60

70

60

70

5

5

,

15



























o

M

Wniosek:
Najczęściej występujący czas dojazdu pracowników wynosi 16,33 minuty

833

,

0

5

,

15

30

,

0

05

,

0

5

5

,

15

1

,

0

35

,

0

3

,

0

35

,

0

3

,

0

35

,

0

5

5

,

15



























o

M

M

o

=16,333

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

f

f

f

f

f

f

i

x

M

2013-02-27

20

Modalna, moda (dominanta) -

przykład

0,5

10,5

5,5

25,5

20,5

15,5

10

90

70

30

liczn

o

ść

50

Mo=16,33

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

f

f

f

f

f

f

i

x

M

Kwantyle

Kwantyle

to takie wartości cechy X, które dzielą zbiorowość na równe części

pod względem liczebności (lub częstości).



Części te pozostają w określonych proporcjach do siebie.



Aby dokonywać takiego podziału zbiorowość musi być

uporządkowana

według rosnących

wartości cechy X.

gdzie: N

Qs

– numer kwantyla,

x

0Qs

– dolna granica klasy kwantyla,

i

Qs

– interwał(długość) klasy kwantyla,

f

Qs

– liczebność w klasie kwantyla,























1

0

s

i

i

Q

Q

Q

Q

s

f

N

f

i

x

Q

s

s

s

s

2013-02-27

21

Kwantyle

– kwartyle, mediana

Kwartyle

to takie wartości cechy X, które dzielą zbiorowość na

cztery

równe części pod względem liczebności (lub częstości).

Każdy kwartyl dzieli zbiorowość na dwie części, które pozostają do siebie w

następujących proporcjach. I tak:



kwartyl 1 (Q

1

)

- 25% z lewej i 75% populacji z prawej strony kwartyla,



kwartyl 2 (Q

2

)

- 50% z lewej i 50% populacji z prawej strony kwartyla,



kwartyl 3 (Q

3

)

- 75% z lewej i 25% populacji z prawej strony kwartyla.

Q

1

Q

2

Q

3

x

max

x

min

N

Q1

1

n

N

Q2

N

Q3

Inne kwartyle i mediana

Kwartyl

Numer kwartyla

dla liczebności (N

Q

)

dla częstości

(N

Q

cz

)

0 (Q

0

)

wartość minimalna x

min

1 (Q

1

)

2 (Q

2

) mediana

3 (Q

3

)

4 (Q

4

)

wartość maksymalna x

max

n

N

Q

4

1

1



n

n

N

Q

2

1

4

2

2





n

N

I

Q

4

3

3



25

0

4

1

1

,





cz

Q

N

50

0

2

1

2

,





cz

Q

N

75

0

4

3

3

,





cz

Q

I

N

2013-02-27

22

Mediana (Me)



wartość środkowa, inaczej: kwartyl 2 (Q

2

).



taka wartość cechy X, która dzieli zbiorowość na dwie równe części, tj.
połowa zbiorowości charakteryzuje się wartością cechy X mniejszą lub
równą medianie, a druga połowa większą lub równą.



Rozkłady symetryczne:



Rozkłady asymetryczne

:

e

o

M

M

x









e

o

M

x

M

x







*

3

Mediana dla szeregu szczegółowego



Szereg uporządkowany x

1

≤ x

2

≤ …

≤ x

n-1

≤ x

n



Dla n nieparzystego



Dla n parzystego

2

1





n

e

x

M



















1

2

2

2

1

n

n

e

x

x

M

2013-02-27

23

Mediana dla szeregu szczegółowego

Przykład: Liczba samochodów przed światłami

xi = 1,3,3,3,5,5,8

Liczebność populacji jest nieparzysta: n=7

Przykład: Liczba przejazdów środkami transportu zbiorowego w ciągu dnia:

xi = 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
Liczebność populacji jest parzysta: n=10

3

4

2

8

2

1

7











x

x

x

M

e

Wniosek:

Dla połowy zarejestrowanych przypadków liczba samochodów w kolejce była
nie mniejsza niż (



) 3, a drugiej połowy była nie większa (



) niż 3 osoby









3

3

3

2

1

2

1

2

1

6

5

1

2

10

2

10





























x

x

x

x

M

e

Wniosek:
Połowa osób wykonała w ciągu jednego dnia nie więcej niż (



) 3

przejazdy środkami

transportu zbiorowego, a dla druga połowa osób wykonała nie mniej (



) niż 3 przejazdy

Mediana dla szeregu rozdzielczego punktowego

Kroki:



Ustalamy na początek tzw. numer mediany (N

Me

). Jest to połowa

liczebności populacji:

(albo ułamek ½ dla częstości).



Kumulujemy liczebności (albo częstości).



Znajdujemy klasę, w której po raz pierwszy przekroczony został numer
mediany. Klasa ta ma numer m.



Wartość cechy X w klasie m jest medianą, t.j.

n

N

Me

2

1



m

e

x

M



2013-02-27

24

Mediana
– przykład dla szeregu rozdzielczego punktowego

Numer klasy

Liczba osób w

kolejce x

i

Liczebność f

i

f

i_sk

Częstość

skumulowana w

i_sk

1

0

15

15

0,3

2

1

25

40

0,8

3

2

6

46

0,92

4

3

3

49

0,98

5

4

1

50

1,0

suma

50

25

50

2

1







Me

N

Numer mediany

dla liczebności

Numer klasy z medianą m=2

dla częstości

2

1



cz

Me

N

1

2







x

x

M

m

e

Mediana

Mediana dla szeregu rozdzielczego przedziałowego



Korzystając z liczebności



Korzystając z częstości

























1

1

0

2

m

i

i

m

m

m

e

f

n

f

i

x

M











 







sk

m

m

m

m

e

w

w

i

x

M

1

0

2

1

2013-02-27

25

Kwartyle

– szereg przedziałowy

Przedział

f

i

f

i_sk

w

i

w

i_sk

Q

0,5

5,5

20

20

0,1

0,1

5,5

10,5

30

50

0,15

0,25

Q

1

10,5

15,5

60

110

0,3

0,55

Me

15,5

20,5

70

180

0,35

0,9

Q

3

20,5

25,5

20

200

0,1

1,0

suma

200





3

1

15

6

5

5

5

10

50

60

5

5

10

50

100

60

5

5

10

















,

*

,

*

,

e

M





5

10

5

5

5

30

30

5

5

5

20

50

30

5

5

5

1

,

,

*

,

*

,

















Q





357

18

7

6

2

5

15

40

70

5

5

15

110

150

70

5

5

15

3

,

,

*

,

*

,

















Q























1

0

s

i

i

Q

Q

Q

Q

s

f

N

f

i

x

Q

s

s

s

s

Kwartyle

– szereg przedziałowy – metoda graficzna

0,5

10,5

5,5

25,5

20,5

15,5

0,1

0,9

0,7

0,3

czę

sto

ść

0,75

0,25

0,5

Q1=10,5

Q3=18,36

Me=15,33

2013-02-27

26

Excel

– wzory na wyznaczanie kwartyli

dla szeregów szczegółowych





gdzie:

k1 i α1 – odpowiednio część całkowita i ułamkowa liczby

k3 i α3 – odpowiednio część całkowita i ułamkowa liczby

  



1

1

1

1

1

1

1









k

k

y

y

y

Q





  



1

1

3

3

3

3

1









k

k

y

y

y

Q









1

4

1





n





1

4

1

3





n

Excel

– wzory na wyznaczanie kwartyli

dla szeregów szczegółowych









75

,

3

1

4

1

12

1

4

1













n









25

,

9

1

4

1

12

3

1

4

1

3













n

nr

y

i

kwartyl

1

1

2

2

3

2

Q1

4

3

5

3

6

3

Me

7

3

8

5

9

5

Q3

10

6

11

7

12

8









5

,

6

1

2

1

12

1

2

1













n



k

1

=3,



1

=0,75



k

2

=6,



2

=0, 5



k

3

=9,



3

=0,25

  







3

3

*

5

,

0

3

*

5

,

0

1

1

1

1

2

2

2

2

















k

k

y

y

x

Q





  







75

,

2

3

*

75

,

0

2

*

75

,

0

1

1

1

1

1

1

1

1

















k

k

y

y

x

Q





  







25

,

5

6

*

25

,

0

5

*

25

,

0

1

1

1

3

3

3

3

3

















k

k

y

y

x

Q





2013-02-27

27

Excel

– funkcje – miary położenia



=ŚREDNIA(zakres) lub =ŚREDNIA(liczba1; liczba2; ..)



=ŚREDNIA.HARMONICZNA(liczba1; liczba2; ..)



=ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA(liczba1; liczba2; ..)



=MEDIANA(liczba1; liczba2; ..)



=KWARTYL(tablica; kwartyl) -

kwartyl = 0, 1, 2, 3, 4



=PERCENTYL(tablica; k)

-

k liczba z przedziału [0 ; 1]



=WYST.NAJCZĘŚCIEJ(liczba1; liczba2; ..)



SUMA.ILOCZYNÓW(tablica1;tablica2;…)



SUMA.KWADRATÓW(tablica1;tablica2;…)