2013-02-27 

1 

Metody   probabilistyczne 

Metody opisu struktury zbiorowości 

 

Miary położenia 

 

 

Analiza opisowa struktury zjawisk masowych 

Analiza opisowa 

– 

pozwala na: 



scharakteryzowanie w syntetyczny sposób struktury zbiorowości, 



określenie liczbowych charakterystyk, które ułatwiają porównywanie 
zjawisk masowych.

 

 

 

 
Rozkład empiryczny zmiennej

 

– przyporządkowanie kolejnym 

wartościom zmiennej (x

i

) odpowiadających im częstotliwości (n

i

).  

 



są ustalane na podstawie konkretnych danych statystycznych, 



odzwierciedlają strukturę badanej zbiorowości z punktu widzenia 
wyróżnionej cechy. 

 

2013-02-27 

2 

Parametry statystyczne  

Parametry (charakterystyki) statystyczne:  



liczby służące do syntetycznego zwięzłego opisu struktury zbiorowości 
statystycznej i prezentacji wyników analizy danych w próbie, 



funkcje wartości w próbie, czyli wielkości, które oblicza się na 
podstawie zaobserwowanych pojedynczych wyników próby. 

Parametry 

Miary 

położenia 

Miary 

zmienności 

Miary 

asymetrii 

Miary 

koncentracji 

Miary położenia 

Miary położenia 

Miary przeciętne 

Miary pozycyjne 

Średnia arytmetyczna 

Średnia potęgowa 

Średnia geometryczna 

Średnia harmoniczna 

Modalna 

Kwantyle 

kwartyle 

percentyle 

decyle 

kwintyle 

2013-02-27 

3 

Miary położenia - 

średnia arytmetyczna  

 

dla szeregów szczegółowych 

gdzie:  
 

  - 

średnia arytmetyczna zmiennej X, 

  

x

i

- 

wartość zmiennej X (i = 1, 2, … n), 

 

n 

– liczebność próby. 

Przykład:  
Liczba osób w kolejce do kasy biletowej: 
x

i

 = 1,3,3,3,5,5,8 

 
 
 
Średnia liczba osób kolejce wynosi 4 



















n

i

i

n

x

n

x

x

x

n

x

1

2

1

1

1

...

4

7

28

8

5

5

3

3

3

1

7

1

7

1

























i

i

x

x

x

Miary położenia - średnia arytmetyczna  

 

dla szeregów rozdzielczych punktowych 























k

i

i

i

k

i

i

k

k

k

w

*f

x

f

f

...

f

f

f

...x

f

x

f

x

x

1

1

2

1

2

2

1

1

1















k

i

i

i

k

k

w

w

x

w

x

w

x

w

x

x

1

2

2

1

1



lub 

gdzie: 

f

i

 

– wagi tzn. liczebności bezwzględne przypadające na dany wariant zmiennej, 

w

i

 - 

wagi tzn. liczebności względne przypadające na dany wariant zmiennej, 

2013-02-27 

4 

Miary położenia - średnia arytmetyczna  

 

dla szeregów rozdzielczych punktowych 

Numer 

klasy

 

Liczba osób w 

kolejce x

i

 

Liczebność f

i

 

f

i

*x

i

 

Wskaźnik 

struktury w

i

 

w

i

*x

i

 

1

 

0 

15 

=0*15=0 

=15/50=0,3

 

=0,3*0=0

 

2

 

1 

25 

25 

0,5

 

0,5

 

3

 

2 

6 

12 

0,12

 

0,24

 

4

 

3 

3 

9 

0,06

 

0,18

 

5

 

4 

1 

4 

0,02

 

0,08

 

 

 

Suma 

50 

50 

średnia 

1

 

1

50

50





x

Średnia liczba osób kolejce wynosi 1  







k

i

i

i

x

f

n

x

1

1

Miary położenia - średnia arytmetyczna  

 

dla szeregów rozdzielczych punktowych 

Numer 

klasy

 

Liczba osób w 

kolejce x

i

 

Liczebność f

i

 

f

i

*x

i

 

Wskaźnik 

struktury w

i

 

w

i

*x

i

 

1

 

0 

15 

=0*15=0 

=15/50=0,3 

=0,3*0=0 

2

 

1 

25 

25 

0,5 

0,5 

3

 

2 

6 

12 

0,12 

0,24 

4

 

3 

3 

9 

0,06 

0,18 

5

 

4 

1 

4 

0,02 

0,08 

 

 

Suma 

50 

50 

średnia 

1 

1



x

Średnia liczba osób kolejce wynosi 1  







k

i

i

i

x

w

x

1

2013-02-27 

5 

Miary położenia - średnia arytmetyczna 

dla szeregów rozdzielczych przedziałowych

  

gdzie: 

 

 

- 

środek przedziału wyliczany następująco:

  

 

x

0i

, x

1i

 

– dolna i górna granica przedziału klasowego  

 

 

n

f

x

n

f

x

f

x

f

x

x

k

i

i

i

k

k

w















1

2

2

1

1

























k

i

i

i

k

k

w

w

x

w

x

w

x

w

x

x

1

2

2

1

1











i

x

2

1

0

i

i

i

x

x

x







lub 

Miary położenia - średnia arytmetyczna 
dla szeregów rozdzielczych przedziałowych 

i

x

i

i

x

f 

i

w

'
i

i

x

w

Przedział czasu 

[min] 

Liczba pracowników 

 f

i

 

0,5 

5,5 

20 

3 

60 

0,1 

0,3 

5,5 

10,5 

30 

8 

240 

0,15 

1,2 

10,5 

15,5 

60 

13 

780 

0,3 

3,9 

15,5 

20,5 

70 

18 

1260 

0,35 

6,3 

20,5 

25,5 

20 

23 

460 

0,1 

2,3 

  

suma 

200 

  

2800 

  

14 

Przykład: 
Obliczenia średniego czasu trwania dojazdu do firmy  

14

200

2800

1

1











k

i

i

i

x

f

n

x



Średni czas trwania dojazdu do firmy wynosi 14 min 

2013-02-27 

6 

Miary położenia - średnia arytmetyczna 
dla szeregów rozdzielczych przedziałowych 

i

x

i

i

x

f 

i

w

i

i

x

w 

Przedział czasu 

[min] 

Liczba pracowników 

 f

i

 

0,5 

5,5 

20 

3 

60 

0,1 

0,3 

5,5 

10,5 

30 

8 

240 

0,15 

1,2 

10,5 

15,5 

60 

13 

780 

0,3 

3,9 

15,5 

20,5 

70 

18 

1260 

0,35 

6,3 

20,5 

25,5 

20 

23 

460 

0,1 

2,3 

  

suma 

200 

  

2800 

średnia  

14 

Przykład: 
Obliczenia średniego czasu trwania dojazdu do firmy  

14

x

w

x

k

1

i

i

i











Średni czas trwania dojazdu do firmy wynosi 14 min 

Miary położenia - średnia arytmetyczna  

dla zbiorowości podzielonej na r podzbiorowości 



dla r zbiorowości łącznie

, dla których wyznaczono średnie w 

każdej zbiorowości (n

i

 

liczebność i-tej zbiorowości), 

 

 

 

 

 



dla r zbiorowości łącznie bez użycia wag 
 

 

gdzie: r 

– liczba prób pobranych z tej samej zbiorowości generalnej   











r

i

i

i

r

i

i

w

f

x

f

x

1

1

*

1







r

i

i

x

r

x

1

1

2013-02-27 

7 

Klasa 

Liczność klasy f

i

 

Średnia ocen 

A 

25 

4,5 

112,5 

B 

35 

4 

140 

C 

30 

3,5 

105 

Suma 

90 

12 

357,5 

Średnia 

4,0 

3,97 

i

x

i

i

x

f

Przykład: Średnia ocen klas jednego poziomu 

Miary położenia - średnia arytmetyczna  
dla zbiorowości podzielonej na r podzbiorowości 

Klasa 

Liczność klasy f

i

 

Średnia ocen 

A 

25 

4,5 

112,5 

B 

35 

4 

140 

C 

30 

3,5 

105 

Suma 

90 

12 

357,5 

Średnia 

4,0 

3,97 

i

x

i

i

x

f

Przykład: Średnia ocen klas jednego poziomu 

Miary położenia - średnia arytmetyczna  
dla zbiorowości podzielonej na r podzbiorowości 

2013-02-27 

8 

Ważniejsze własności średniej arytmetycznej

  

1.

Suma wartości 

cechy jest równa iloczynowi średniej 

arytmetycznej i 

liczebności populacji, tj. 

 

 

 

 

 

 

lub 

 

 

lub 

 

 

 

2.

Średnia arytmetyczna 

nie może być mniejsza 

od najmniejszej 

wartości cechy 

ani też większa 

od największej jej wartości 

 
 
 

3.

Suma odchyleń

 

poszczególnych wartości cechy od średniej jest 

równa zero  
 
 

 

 

lub 

 

 

lub 







n

i

i

x

x

n

1







k

i

i

i

f

x

x

n

1







k

i

i

i

f

x

x

n

1



max

min

x

x

x









0

1









n

i

i

x

x





0

*

1









k

i

i

i

f

x

x





0

*

1









k

i

i

i

f

x

x

4.

Średnią arytmetyczną oblicza się w zasadzie dla szeregów o 

zamkniętych klasach przedziałowych.  

Można klasy sztucznie domknąć (i policzyć średnią) tylko wtedy, 
gdy odsetek jednostek w tych klasach jest niewielki (do 5%).  

Gdy ten odsetek jest duży należy stosować miary pozycyjne 

zamiast średniej.  

Jest 

miarą prawidłową dla zbiorowości jednorodnych o 

niewielkim zróżnicowaniu wartości zmiennej. W miarę wzrostu 

asymetrii i dyspersji rozkładu oraz w rozkładach bimodalnych- i 

wielomodalnych do opisu należy wykorzystywać miary 
pozycyjne.

 

 

5.

Średnia arytmetyczna 

jest czuła na skrajne ekstremalne 

wartości 

cechy.  

Wpływ jest większy dla wysokich wartości zmiennej.  

Są to wartości cechy dla jednostek nietypowych w badanej 

zbiorowości i przypadkowo (niepoprawnie) włączonych do 
badanej populacji. 

Ważniejsze własności średniej arytmetycznej

  

2013-02-27 

9 

 

17 

6.

Średnia arytmetyczna sumy (różnicy) zmiennych 

równa się 

sumie (różnicy) ich średnich arytmetycznych. 
 

7.

Jeżeli wszystkie wartości zmiennej powiększymy (pomniejszymy, 

pomnożymy, podzielimy) 

o pewną stałą c 

to średnia arytmetyczna 

będzie równa sumie (różnicy, iloczynowi, ilorazowi) średniej 

arytmetycznej i stałej c,    
 
 
 
 
 

8.

Średnia arytmetyczna jako wypadkowa wszystkich 

zaobserwowanych wartości cechy - jest 

wielkością abstrakcyjną

. 

W niektórych przypadkach może ona w ogóle nie występować w 

zbiorowości 

Ważniejsze własności średniej arytmetycznej

  

x

c

cx

n

i

i





1

Średnia harmoniczna 

Zastosowanie: 



gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę 
innej cechy, czyli w postaci tzw. 

wskaźników natężenia 

(jednostek 

względnych „łamanych”) 

 



prędkość pojazdu [km/godz],  



cena jednostkowa [zł/szt],  



spożycie [kg/osoba],  



gęstość zaludnienia [mieszk/km

2

] 

(zmienna - mieszk/km

2

, waga 

– liczba mieszkańców itp.) 



przeciętny czas na wyprodukowanie jednostki wyrobu, 



siły nabywczej pieniądza, 



szybkości obrotów pieniężnych, 



przeciętna cena towaru za jednostkę pieniężną . 

2013-02-27 

10 

Średnia harmoniczna 

Dla szeregu szczegółowego x

1

....x

n

 : 

 

 

 

 

 

 

gdzie: 



x

i

  -  

wartość i-tego wariantu badanej cechy, 



n 

– liczebność próby, 

 















n

i

i

n

H

x

n

x

x

x

n

x

1

2

1

1

1

...

1

1

Średnia harmoniczna 

Dla szeregu rozdzielczego punktowego: 

 
 
 
 
 
 

gdzie: 



x

i

  -  

wartość zmiennej w i-tej klasie badanej cechy, 



f

i

  -  

liczebność i-tej klasy badanej cechy, 



m

i

 - 

wartość i-tego wariantu mianownika badanej cechy, 



k 

– liczba klas

. 





















k

i

i

i

k

i

i

k

i

i

k

i

i

Hw

x

f

f

m

f

x

1

1

1

1

2013-02-27 

11 

Średnia harmoniczna 

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: 
 

 

 

 

 

 

 

 

gdzie: 



f

i

  -  

liczebność i-tej klasy badanej cechy, 



m

i

 - 

wartość i-tego wariantu mianownika badanej cechy, 



      - 

środek przedziału klasowego. 

 





















k

i

i

i

k

i

i

k

i

i

k

i

i

Hw

x

f

f

m

f

x

1

1

1

1



i

x

Średnia harmoniczna - przykład 

Kierowca przejechał trasę ze zmienną prędkością.  



Odcinek A o 

długości 30 km przejechał z prędkością 50 km/godz.  



Odcinek B o 

długości 81 km przejechał z prędkością 90 km/godz. 



Z jaką średnią prędkością pokonał trasę kierowca? 



Badaną cechą X jest prędkość wyrażona w [km/godz.]  

numer klasy 

trasa 

 [km]

 

prędkość  

[km/godz]

 

czas  

[godz]

 

 i 

f

i

 

x

i

 

m

i

 =f

i

 /x

i

 

1

 

30

 

50

 

0,6

 

2

 

81

 

90

 

0,9

 

Suma

 

111

 

 

1,5

 



 







74

5

1

111

9

0

6

0

111

90

81

50

30

81

30



















,

/

,

,

/

/

/

/

Hw

x





















k

i

i

i

k

i

i

k

i

i

k

i

i

Hw

x

f

f

m

f

x

1

1

1

1

2013-02-27 

12 

Średnia geometryczna

  

Dla szeregu szczegółowego x

1

....x

n

: 

 

 

 

 

 
Zaleca się logarytmowanie wartości: 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Stąd: 

n

n

i

i

n

n

g

x

x

x

x

x















1

2

1





















n

i

i

n

g

x

n

x

x

x

n

x

1

2

1

ln

1

ln

...

ln

ln

1

ln

g

x

g

e

x

ln



Średnia geometryczna

  

Dla szeregu rozdzielczego punktowego:  

 

 

 

 

gdzie: 

 

 

 

lub w postaci logarytmicznej 

n

k

i

f

i

w

g

i

x

x







1

,







k

i

i

f

n

1



















k

i

i

i

k

k

g

w

x

f

n

x

f

x

f

x

f

n

x

1

2

2

1

1

,

ln

*

1

ln

*

...

ln

*

ln

*

1

ln

2013-02-27 

13 

Średnia geometryczna

  

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: 
 

 

 

 

 

 

 

Zastosowanie: 



szczególnie w analizie dynamiki zjawisk, 



dla danych o znacznym zróżnicowaniu danych skrajnych. 

 

n

k

i

f

i

w

g

i

x

x







1

,



Średnia geometryczna - przykład 

Lata 

Wielkość 

przewozów 

Wzrost przewozów  

w stosunku do roku 

poprzedniego x

i

 

ln xi

 

  

2001 

 200 

  

 

 

  

2002 

246  

1,23 

0,20701

 

  

2003 

283  

1,15 

0,13976

 

  

2004 

317  

1,12 

0,11333

 

  

2005 

339  

1,07 

0,06766

 

  

  

1,69514 

0,13194

 

  

  

1,14104 

1,14104

 

  





4

1

i

i

x

4

4

1





i

i

x

g

x





4

1

ln

4

1

i

i

x





4

1

ln

4

1

i

i

x

e

2013-02-27 

14 

Średnia geometryczna - przykład 

Lata 

Wielkość 

przewozów 

Wzrost przewozów  

w stosunku do roku 

poprzedniego x

i

 

ln x

i 

  

2001 

 200 

  

  

  

2002 

246  

1,23 

0,20701 

  

2003 

283  

1,15 

0,13976 

  

2004 

317  

1,12 

0,11333 

  

2005 

339  

1,07 

0,06766 

  

  

1,69514 

0,13194 

  

  

1,14104 

1,14104 

  





4

1

i

i

x

4

4

1





i

i

x

g

x





4

1

i

i

x

ln

4

1





4

1

i

i

x

ln

4

1

e

Średnia potęgowa

  

Dla szeregu szczegółowego x

1

....x

n

: 

 

 

 

 

 

 

gdzie: p=1,2, ..., r (p-

potęga) 

 

Zastosowanie: 



do obliczania  



średniej arytmetycznej ( p=1 ), 



odchylenia standardowego ( p=2 ), 



momentów centralnych ( p>3 ). 

 



Dla szeregu rozdzielczego 
punktowego: 

 

 

 

 

 

 



Dla szeregu rozdzielczego 
przedziałowego: 

 

p

n

i

p

i

p

x

n

x







1

1

p

n

i

i

p

i

k

i

i

w

p

f

x

f

x











1

1

,

*

1

p

n

i

i

p

i

k

i

i

w

p

f

x

f

x











1

1

,

*

1



2013-02-27 

15 

MIARY POZYCYJNE 
 

 

 

 

Modalna, moda  (dominanta)

  

to wartość cechy, która 

występuje najczęściej

 w badanej 

zbiorowości  

 

Zalecenia: 



Dane pogrupowane w szereg rozdzielczy  

(punktowy lub przedziałowy). 



Liczebność populacji powinna być dostatecznie duża. 



Diagram lub histogram liczebności - jedno wyraźnie zaznaczone 
maksimum (

rozkład jednomodalny). 



Dla danych pogrupowanych w szereg rozdzielczy przedziałowy 
modalna 

nie występuje w skrajnych przedziałach (pierwszym lub 

ostatnim)   -  

przypadek skrajnej asymetrii. Nie da się w takim 

przypadku analitycznie wyznaczyć modalnej. 



Asymetria 

rozkładu liczebności powinna być umiarkowana. 



Dla danych pogrupowanych w szereg rozdzielczy przedziałowy 

przedział modalnej oraz dwa sąsiednie przedziały (poprzedzający i 

następujący po przedziale modalnej) powinny mieć taką samą 

rozpiętość. 

2013-02-27 

16 

Modalna, moda  (dominanta) 

Własności modalnej: 

 



Modalną można wyznaczyć w szeregach 

rozdzielczych otwartych

  

(szereg nie jest zamknięty od dołu i od góry). 
 



Na wartość modalnej 

nie mają wpływy wartości skrajne 

szeregu  

(x

min

 oraz x

max

). 

 



W szeregu symetrycznym modalna jest równa wartości średniej 

Mo=x

śr

. 

 



Modalna 

charakteryzuje jednostki statystyczne o typowym 

poziomie zmiennej

, a nie wszystkie badane jednostki. 

Modalna, moda  (dominanta) 

0

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

5

6

 

0

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

5

6

 

Histogram szeregu rozdzielczego antymodalngo typu J

  

0

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

5

6

 

Histogram szeregu rozdzielczego typu U z 

antymodą  

2013-02-27 

17 

Modalna, moda  (dominanta) 

Histogram szeregu rozdzielczego 

dwumodalnego 

0

10

20

30

40

50

60

1

2

3

4

5

6

7

0

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

5

6

7

8

Histogram szeregu rozdzielczego 

dwumodalnego 

dwuwierzchołkowego 

Modalna, moda  (dominanta) - 

przykład 

Szereg rozdzielczy punktowy 

Numer klasy 

Liczba osób w 

kolejce x

i

 

Liczebność f

i

 

Wskaźnik struktury w

i

 

1

 

0 

15 

0,3

 

2

 

1 

25 

0,5

 

3

 

2 

6 

0,12

 

4

 

3 

3 

0,06

 

5

 

4 

1 

0,02

 

 

 

suma 

50 

 

 

1

2







x

x

M

m

o

Wniosek: 

najczęściej występująca liczba osób w kolejce to 1 osoba.  

2013-02-27 

18 

Modalna, moda  (dominanta) 

szereg rozdzielczy przedziałowy 
 

 

 

 

 

gdzie: 

m  -  

numer klasy (przedziału) z modalną 

x

0m

  -  

dolny kraniec przedziału modalnej 

i

m

  -  

rozpiętość przedziału modalnej (i

m

=x

1m

-x

0m

) 

f

m

  -  

liczebność przedziału modalnej 

f

m-1

 (f

m+1

) -  

liczebność dla przedziałów sąsiadujących z przedziałem modalnej  

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

f

f

f

f

f

f

i

x

M

Modalna, moda  (dominanta) 

szereg rozdzielczy przedziałowy wykorzystaniem 

częstości 

(wskaźnika struktury)

  

 

 

 

 

 

gdzie: 

m  -  

numer klasy (przedziału) z modalną 

x

0m

  -  

dolny kraniec przedziału modalnej 

i

m

  -  

rozpiętość przedziału modalnej (i

m

=x

1m

-x

0m

) 

w

m

  -  

wskaźnik struktury przedziału modalnej 

w

m-1

 (w

m+1

) - 

wskaźnik struktury dla przedziałów sąsiadujących z przedziałem 

modalnej  

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

w

w

w

w

w

w

i

x

M

2013-02-27 

19 

Modalna, moda  (dominanta) - 

przykład 

szereg rozdzielczy przedziałowy 

 

Przedział 

Liczba 

pracowników 

f

i 

x

10 

x

11 

0,5 

5,5 

20 

0,1

 

5,5 

10,5 

30 

0,15

 

10,5 

15,5 

60 

0,3

 

15,5 

20,5 

70 

0,35

 

20,5 

25,5 

20 

0,1

 

  

suma 

200 

 

 

i

w

833

,

0

5

,

15

60

10

5

5

,

15

20

70

60

70

60

70

5

5

,

15



























o

M

Wniosek: 
Najczęściej występujący czas dojazdu pracowników wynosi 16,33 minuty  

M

o

=16,333 

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

f

f

f

f

f

f

i

x

M

Modalna, moda  (dominanta) - 

przykład 

szereg rozdzielczy przedziałowy 

 

Przedział 

Liczba 

pracowników 

f

i 

x

10 

x

11 

0,5 

5,5 

20 

0,1

 

5,5 

10,5 

30 

0,15

 

10,5 

15,5 

60 

0,3

 

15,5 

20,5 

70 

0,35

 

20,5 

25,5 

20 

0,1

 

  

suma 

200 

 

 

i

w

833

,

0

5

,

15

60

10

5

5

,

15

20

70

60

70

60

70

5

5

,

15



























o

M

Wniosek: 
Najczęściej występujący czas dojazdu pracowników wynosi 16,33 minuty  

833

,

0

5

,

15

30

,

0

05

,

0

5

5

,

15

1

,

0

35

,

0

3

,

0

35

,

0

3

,

0

35

,

0

5

5

,

15



























o

M

M

o

=16,333 

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

f

f

f

f

f

f

i

x

M

2013-02-27 

20 

Modalna, moda  (dominanta) - 

przykład 

0,5

10,5

5,5

25,5

20,5

15,5

10

90

70

30

liczn

o

ść

50

Mo=16,33

1

1

1

0



















m

m

m

m

m

m

m

m

o

f

f

f

f

f

f

i

x

M

Kwantyle 

Kwantyle

 

to takie wartości cechy X, które dzielą zbiorowość na równe części 

pod względem liczebności (lub częstości).  



Części te pozostają w określonych proporcjach do siebie. 
 



Aby dokonywać takiego podziału zbiorowość musi być 

uporządkowana 

według rosnących

 

wartości cechy X.

  

 
 
 

 
 
 
 

gdzie: N

Qs

 

– numer kwantyla, 

 

     x

0Qs

 

– dolna granica klasy kwantyla, 

 

     i

Qs

 

– interwał(długość) klasy kwantyla, 

 

     f

Qs

 

– liczebność w klasie kwantyla, 

 
 























1

0

s

i

i

Q

Q

Q

Q

s

f

N

f

i

x

Q

s

s

s

s

2013-02-27 

21 

Kwantyle 

– kwartyle, mediana 

Kwartyle 

to takie wartości cechy X, które dzielą zbiorowość na 

cztery 

równe części pod względem liczebności (lub częstości).  

 

Każdy kwartyl dzieli zbiorowość na dwie części, które pozostają do siebie w 

następujących proporcjach. I tak: 



kwartyl 1 (Q

1

)

 -    25% z lewej i 75% populacji z prawej strony kwartyla, 



kwartyl 2 (Q

2

)

 -   50% z lewej i 50% populacji z prawej strony kwartyla, 



kwartyl 3 (Q

3

)

  -  75% z lewej i 25% populacji z prawej strony kwartyla.  

Q

1 

Q

2 

Q

3 

x

max 

x

min 

N

Q1 

1

 

n

 

N

Q2 

N

Q3 

Inne kwartyle i mediana 

Kwartyl 

Numer kwartyla 

dla liczebności (N

Q

) 

dla częstości

 (N

Q

cz

) 

0 (Q

0

) 

wartość minimalna x

min

 

 

 

1  (Q

1

) 

2  (Q

2

) mediana 

  

  

3  (Q

3

) 

  

  

4  (Q

4

) 

wartość maksymalna x

max

  

  

n

N

Q

4

1

1



n

n

N

Q

2

1

4

2

2





n

N

I

Q

4

3

3



25

0

4

1

1

,





cz

Q

N

50

0

2

1

2

,





cz

Q

N

75

0

4

3

3

,





cz

Q

I

N

2013-02-27 

22 

Mediana (Me) 



wartość środkowa, inaczej: kwartyl 2 (Q

2

). 



taka wartość cechy X, która dzieli zbiorowość na dwie równe części, tj. 
połowa zbiorowości charakteryzuje się wartością cechy X mniejszą lub 
równą medianie, a druga połowa większą lub równą. 
 



Rozkłady symetryczne:     
 

 



Rozkłady asymetryczne

:  

e

o

M

M

x









e

o

M

x

M

x







*

3

Mediana dla szeregu szczegółowego

  



Szereg uporządkowany x

1 

≤ x

2 

≤ …

 

≤ x

n-1 

≤ x

n

 

 

 



Dla  n  nieparzystego

  

 



Dla  n  parzystego 

 

2

1





n

e

x

M



















1

2

2

2

1

n

n

e

x

x

M

2013-02-27 

23 

Mediana dla szeregu szczegółowego

  

Przykład: Liczba samochodów przed światłami 
 

xi = 1,3,3,3,5,5,8 

 

Liczebność populacji jest nieparzysta:  n=7 

 

 

 

 

Przykład: Liczba przejazdów środkami transportu zbiorowego w ciągu dnia: 

xi = 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5 
Liczebność populacji jest parzysta:  n=10

  

3

4

2

8

2

1

7











x

x

x

M

e

Wniosek: 

Dla połowy zarejestrowanych przypadków liczba samochodów w kolejce była 
nie mniejsza niż (



) 3, a drugiej połowy była nie większa (



) niż 3 osoby

  









3

3

3

2

1

2

1

2

1

6

5

1

2

10

2

10





























x

x

x

x

M

e

Wniosek: 
Połowa osób wykonała w ciągu jednego dnia nie więcej niż (



) 3 

przejazdy środkami 

transportu zbiorowego, a dla druga połowa osób wykonała nie mniej (



) niż 3 przejazdy  

Mediana dla szeregu rozdzielczego punktowego

  

Kroki: 



Ustalamy na początek tzw. numer mediany (N

Me

). Jest to połowa 

liczebności populacji:    
 
(albo ułamek ½ dla częstości). 
 



Kumulujemy liczebności (albo częstości). 



Znajdujemy klasę, w której po raz pierwszy przekroczony został numer 
mediany. Klasa ta ma numer  m. 



Wartość cechy X w klasie m jest medianą, t.j.  

n

N

Me

2

1



m

e

x

M



2013-02-27 

24 

Mediana  
– przykład dla szeregu rozdzielczego punktowego

  

Numer klasy 

Liczba osób w 

kolejce x

i 

Liczebność f

i 

f

i_sk 

Częstość 

skumulowana w

i_sk 

1 

0 

15 

15 

0,3 

2 

1 

25 

40 

0,8 

3 

2 

6 

46 

0,92 

4 

3 

3 

49 

0,98 

5 

4 

1 

50 

1,0 

suma 

50 

25

50

2

1







Me

N

Numer mediany 

dla liczebności 

Numer klasy z medianą m=2 

dla częstości 

2

1



cz

Me

N

1

2







x

x

M

m

e

Mediana 

Mediana dla szeregu rozdzielczego przedziałowego

  



Korzystając z liczebności 
 

 

 

 

 



Korzystając z częstości 

 

























1

1

0

2

m

i

i

m

m

m

e

f

n

f

i

x

M











 







sk

m

m

m

m

e

w

w

i

x

M

  

1

0

2

1

2013-02-27 

25 

Kwartyle 

– szereg przedziałowy 

Przedział 

f

i 

f

i_sk 

w

i 

w

i_sk 

Q

 

0,5 

5,5 

20 

20 

0,1 

0,1 

5,5 

10,5 

30 

50 

0,15 

0,25 

Q

1 

10,5 

15,5 

60 

110 

0,3 

0,55 

Me 

15,5 

20,5 

70 

180 

0,35 

0,9 

Q

3 

20,5 

25,5 

20 

200 

0,1 

1,0 

  

suma 

200 

  





3

1

15

6

5

5

5

10

50

60

5

5

10

50

100

60

5

5

10

















,

*

,

*

,

e

M





5

10

5

5

5

30

30

5

5

5

20

50

30

5

5

5

1

,

,

*

,

*

,

















Q





357

18

7

6

2

5

15

40

70

5

5

15

110

150

70

5

5

15

3

,

,

*

,

*

,

















Q























1

0

s

i

i

Q

Q

Q

Q

s

f

N

f

i

x

Q

s

s

s

s

Kwartyle 

– szereg przedziałowy – metoda graficzna 

0,5

10,5

5,5

25,5

20,5

15,5

0,1

0,9

0,7

0,3

czę

sto

ść

0,75

0,25

0,5

Q1=10,5

Q3=18,36

Me=15,33

2013-02-27 

26 

Excel 

– wzory na wyznaczanie kwartyli  

 

 

dla szeregów szczegółowych 



   

 

 

 



    

 

 

 

gdzie:  

 

k1  i  α1 – odpowiednio część całkowita i ułamkowa liczby  

 

 

k3  i  α3 – odpowiednio część całkowita i ułamkowa liczby  

  



1

1

1

1

1

1

1









k

k

y

y

y

Q





  



1

1

3

3

3

3

1









k

k

y

y

y

Q









1

4

1





n





1

4

1

3





n

Excel 

– wzory na wyznaczanie kwartyli  

 

 

dla szeregów szczegółowych 









75

,

3

1

4

1

12

1

4

1













n









25

,

9

1

4

1

12

3

1

4

1

3













n

nr 

y

i 

kwartyl 

1 

1 

2 

2 

3 

2 

Q1 

4 

3 

5 

3 

6 

3 

Me 

7 

3 

8 

5 

9 

5 

Q3 

10 

6 

11 

7 

12 

8 









5

,

6

1

2

1

12

1

2

1













n



k

1

=3, 



1

=0,75 



k

2

=6, 



2

=0, 5 



k

3

=9, 



3

=0,25 

  







3

3

*

5

,

0

3

*

5

,

0

1

1

1

1

2

2

2

2

















k

k

y

y

x

Q





  







75

,

2

3

*

75

,

0

2

*

75

,

0

1

1

1

1

1

1

1

1

















k

k

y

y

x

Q





  







25

,

5

6

*

25

,

0

5

*

25

,

0

1

1

1

3

3

3

3

3

















k

k

y

y

x

Q





2013-02-27 

27 

Excel 

– funkcje – miary położenia 



=ŚREDNIA(zakres)    lub =ŚREDNIA(liczba1; liczba2; ..) 
 



=ŚREDNIA.HARMONICZNA(liczba1; liczba2; ..) 
 



=ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA(liczba1; liczba2; ..) 
 



=MEDIANA(liczba1; liczba2; ..) 
 



=KWARTYL(tablica; kwartyl) - 

kwartyl = 0, 1, 2, 3, 4 



=PERCENTYL(tablica; k) 

- 

k liczba z przedziału [0 ; 1] 

 



=WYST.NAJCZĘŚCIEJ(liczba1; liczba2; ..) 
 



SUMA.ILOCZYNÓW(tablica1;tablica2;…) 
 



SUMA.KWADRATÓW(tablica1;tablica2;…)